Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(a\) là số thực dương thỏa mãn \(a \ge 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = a{}^2 + \dfrac{1}{{{a^2}}}\) là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Theo đề bài, ta có:
\(\begin{array}{l}A = {a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}\\ = \dfrac{1}{{17}}.\left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right).17\\ = \dfrac{1}{{17}}.\left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right).\left( {{4^2} + 1} \right)\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai bộ số \(\left( {{a^2},\dfrac{1}{{{a^2}}}} \right)\) và \(\left( {{4^2},1} \right)\)
\(\dfrac{1}{{17}}.\left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right).\left( {{4^2} + 1} \right)\)\( \ge \dfrac{1}{{17}}{\left( {4a + \dfrac{1}{a}} \right)^2}\,\)
\( \Rightarrow A \ge 17.{\left( {\dfrac{a}{4} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{{15}}{4}a} \right)^2} \ge 17.{\left( {1 + \dfrac{{15}}{4}a} \right)^2} \ge 17.{\left( {1 + \dfrac{{15}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{17}}{4}\)
Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow a = 2\).
Vậy \(\min A = \dfrac{{17}}{4} \Leftrightarrow a = 2\).
Hướng dẫn giải:
Áp dụng
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho \(2\) bộ số tùy ý \(a,\,\,b\) và \(x,\,\,y\) ta có: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {ax + by} \right)^2}\)
Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\)
+ Sau đó, áp dụng bất đẳng thức Cô-si: \(\sqrt {ab} \le \dfrac{{a + b}}{2}\,\,\forall a,\,\,b \ge 0\)
Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\).
Câu hỏi khác
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất đẳng thức toán 10 có lời giải
- Bài tập dấu của nhị thức bậc nhất toán 10 có lời giải
- Bài tập đại cương về bất phương trình toán 10 có lời giải
