Cho \(a\) là số thực dương thỏa mãn \(a \ge 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = a{}^2 + \dfrac{1}{{{a^2}}}\) là

Theo đề bài, ta có:

\(\begin{array}{l}A = {a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}\\ = \dfrac{1}{{17}}.\left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right).17\\ = \dfrac{1}{{17}}.\left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right).\left( {{4^2} + 1} \right)\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai bộ số \(\left( {{a^2},\dfrac{1}{{{a^2}}}} \right)\) và \(\left( {{4^2},1} \right)\)

\(\dfrac{1}{{17}}.\left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right).\left( {{4^2} + 1} \right)\)\( \ge \dfrac{1}{{17}}{\left( {4a + \dfrac{1}{a}} \right)^2}\,\)

\( \Rightarrow A \ge 17.{\left( {\dfrac{a}{4} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{{15}}{4}a} \right)^2} \ge 17.{\left( {1 + \dfrac{{15}}{4}a} \right)^2} \ge 17.{\left( {1 + \dfrac{{15}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{17}}{4}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow a = 2\).

Vậy \(\min A = \dfrac{{17}}{4} \Leftrightarrow a = 2\).