Cho các mệnh đề sau

\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\;\;\left( I \right)\); \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 3\;\;\left( {II} \right)\); \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{{a + b + c}}\;\;\left( {III} \right)\)

Với mọi giá trị của \(a\), \(b\), \(c\) dương ta có

Với mọi \(a\), \(b\), \(c\) dương ta luôn có:

\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\sqrt {\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}  \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\), dấu bằng xảy ra khi \(a = b\). Vậy \(\left( I \right)\) đúng.

\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}} \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 3\), dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c\). Vậy \(\left( {II} \right)\) đúng.

\(\left( {a + b + c} \right).\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{abc}}}} = 9\)\( \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{{a + b + c}}\), dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c\). Vậy \(\left( {III} \right)\) đúng.

Vậy \(\left( I \right)\), \(\left( {II} \right)\), \(\left( {III} \right)\) đúng