Biểu thức $P = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}$, với mọi giá trị của $a$, $b$, $c > 0$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Ta có $P = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}$

$\Rightarrow P + 3 = \dfrac{a}{{b + c}} + 1 + \dfrac{b}{{c + a}} + 1 + \dfrac{c}{{a + b}} + 1$

$\Leftrightarrow P + 3 = \dfrac{{a + b + c}}{{b + c}} + \dfrac{{a + b + c}}{{c + a}} + \dfrac{{a + b + c}}{{a + b}}$

$\Leftrightarrow P + 3 = \left( {a + b + c} \right).\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right)$

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 3 số không âm ta có:

$\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{b + c}}.\dfrac{1}{{c + a}}.\dfrac{1}{{a + b}}}}$ (1)

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 3 số không âm ta có:

$\left( {b + c} \right) + \left( {c + a} \right) + \left( {a + b} \right) \ge 3\sqrt[3]{{\left( {b + c} \right).\left( {c + a} \right).\left( {a + b} \right)}}$

Suy ra $2\left( {a + b + c} \right) \ge 3\sqrt[3]{{\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right)}}$ $\Leftrightarrow a + b + c \ge \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{{\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right)}}$ (2)

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right) \ge \dfrac{9}{2}$  

Do đó $P + 3 \ge \dfrac{9}{2}$$\Rightarrow P \ge \dfrac{3}{2}$.

Vậy mệnh đề $P \ge \dfrac{3}{2}$ đúng với mọi giá trị của $a$, $b$, $c > 0$.

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$.