Giải bất phương trình \(\sqrt {3x - 2}  + \sqrt {x + 3}  \ge {x^3} + 3x - 1\) (với \(x \in \mathbb{R}\)), ta được tập nghiệm là \(S = \left[ {\dfrac{a}{b};c} \right]\) với \(a,b,c \in {\mathbb{N}^*}\), phân số \(\dfrac{a}{b}\) tối giản. Khi đó \(a + b + c\) bằng

Đk: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2 \ge 0\\x + 3 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{2}{3}\\x \ge  - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x \ge \dfrac{2}{3}\).

Bất phương trình có nghiệm \(x = 1\)

Ta có: \(\sqrt {3x - 2}  + \sqrt {x + 3}  \ge {x^3} + 3x - 1\)\( \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2}  - 1 + \sqrt {x + 3}  - 2 \ge {x^3} + 3x - 4\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {3x - 2}  + 1}} + \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {x + 3}  + 2}} \ge \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 4} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2}  + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3}  + 2}} - \left( {{x^2} + x + 4} \right)} \right) \ge 0\)

Xét \(x < 1\), khi đó \(x - 1 < 0\)

* Vì \(\dfrac{2}{3} \le x < 1\) nên \(0 \le \sqrt {3x - 2}  < 1 \Rightarrow \dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2}  + 1}} \le 3\) ;\(\dfrac{1}{{\sqrt {x + 3}  + 2}} \le \dfrac{1}{{\sqrt {\dfrac{{11}}{3}}  + 2}}\), do đó

\(\dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2}  + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3}  + 2}} \le 3 + \dfrac{1}{{\sqrt {\dfrac{{11}}{3}}  + 2}} = 9 - \sqrt {33} \) (1)

* \({x^2} + x + 4 = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{15}}{4} \ge \dfrac{{15}}{4}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2}  + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3}  + 2}} - \left( {{x^2} + x + 4} \right)\)\( \le 9 - \sqrt {33}  - \dfrac{{15}}{4} = \dfrac{{21 - 4\sqrt {33} }}{4} < 0\)

Suy ra  \(\left( {x - 1} \right)\left( {\dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2}  + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3}  + 2}} - \left( {{x^2} + x + 4} \right)} \right) > 0\) nên \(x < 1\) thỏa bất phương trình.

Xét \(x > 1\), khi đó \(x - 1 > 0\)

Ta có \(\sqrt {3x - 2}  > 1 \Rightarrow \dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2}  + 1}} < \dfrac{3}{2}\);\(\dfrac{1}{{\sqrt {x + 3}  + 2}} < \dfrac{1}{4}\); \( - \left( {{x^2} + x + 4} \right) =  - {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{{15}}{4} <  - \dfrac{{15}}{4}\)

\(\dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2}  + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3}  + 2}} - \left( {{x^2} + x + 4} \right) < \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{{15}}{4} =  - 2 < 0\)

Do đó \(\left( {x - 1} \right)\left( {\dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2}  + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3}  + 2}} - \left( {{x^2} + x + 4} \right)} \right) < 0\) (không thỏa mãn yêu câu đề bài)

Tóm lại BPT có tập nghiệm là \(S = \left[ {\dfrac{2}{3};1} \right]\)\( \Rightarrow a = 2;b = 3;c = 1 \Rightarrow a + b + c = 6\)