Bài tập ôn tập chương 2

Ta có $y = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 3\\5x - 12\,\,\,\,khi\,\,2 < x < 3\\ - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 2\end{array} \right.$

Vẽ đường thẳng $y = x$ đi qua hai điểm $O\left( {0;0} \right),\,\,A\left( {1;1} \right)$ và lấy phần đường thẳng bên phải của đường thẳng $x = 3$

Vẽ đường thẳng $y = 5x - 12$ đi qua hai điểm $B\left( {3;3} \right),\,\,C\left( {2; - 2} \right)$ và lấy phần đường thẳng nằm giữa của hai đường thẳng $x = 2,\,\,x = 3$.

Vẽ đường thẳng $y =  - x$ đi qua hai điểm $O\left( {0;0} \right),\,\,D\left( { - 1; - 1} \right)$ và lấy phần đường thẳng bên trái của đường thẳng $x = 2$

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

$\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - 3;4} \right]} y = 4$ khi và chỉ khi $x = 4$

$\mathop {\min y}\limits_{\left[ { - 3;4} \right]}  =  - 2$ khi và chỉ khi $x = 2$

Dựa vào các nhận xét trên ta thấy $\mathop {\max }\limits_{[1;\,2]} f(x)$ chỉ có thể đạt được tại $x = 1$ hoặc $x = 2$ .

Như vậy nếu đặt  $M = \mathop {\max }\limits_{[1;\,2]} f(x)$ thì $M \ge f\left( 1 \right) = \left| {2 - m} \right|$ và $M \ge f\left( 2 \right) = \left| {4 - m} \right|$.

Ta có

$M \ge \dfrac{{f(1) + f(2)}}{2} = \dfrac{{\left| {2 - m} \right| + \left| {4 - m} \right|}}{2}$ $\ge \dfrac{{\left| {(2 - m) + (m - 4)} \right|}}{2} = 1$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\left| {2 - m} \right| = \left| {4 - m} \right|\\(2 - m)(m - 4) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $M$ là $1,$ đạt được chỉ khi $m = 3.$

Vì $\left( P \right)$ đi qua $M(4;3)$ nên $3 = 16a + 4b + c$ (1)

Mặt khác $\left( P \right)$ cắt $Ox$ tại $N(3;0)$ suy ra $0 = 9a + 3b + c$ (2), $\left( P \right)$ cắt $Ox$ tại $P$ nên $P\left( {t;0} \right),\,\,t < 3$

Theo định lý Viét ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + 3 =  - \dfrac{b}{a}}\\{3t = \dfrac{c}{a}}\end{array}} \right.$

Ta có ${S_{\Delta IPN}} = \dfrac{1}{2}IH.NP$ với $H$ là hình chiếu của $I\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)$ lên $PN$ hay trục hoành

Do $IH = \left| { - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right|$, $NP = 3 - t$ nên ${S_{\Delta INP}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| { - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right|.\left( {3 - t} \right) = 1$

$\Leftrightarrow \left( {3 - t} \right)\left| {{{\left( {\dfrac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \dfrac{c}{a}} \right| = \left| {\dfrac{2}{a}} \right| \Leftrightarrow \left( {3 - t} \right)\left| {{{\dfrac{{\left( {t + 3} \right)}}{4}}^2} - 3t} \right| = \left| {\dfrac{2}{a}} \right| \Leftrightarrow {\left( {3 - t} \right)^3} = \dfrac{8}{{\left| a \right|}}$ (3)

Từ (1) và (2) ta có $7a + b = 3 \Leftrightarrow b = 3 - 7a$ suy ra $t + 3 =  - \dfrac{{3 - 7a}}{a} \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} = \dfrac{{4 - t}}{3}>0$ do $t<3$

Thay vào (3) ta có ${\left( {3 - t} \right)^3} = \dfrac{{8\left( {4 - t} \right)}}{3} \Leftrightarrow 3{t^3} - 27{t^2} + 73t - 49 = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Suy ra $a = 1 \Rightarrow b =  - 4 \Rightarrow c = 3$.

Vậy $\left( P \right)$ cần tìm là $y = {x^2} - 4x + 3$.

Đặt $t = \sqrt[3]{{{x^2} + 1}},\,\,t \ge 1 \Rightarrow {t^2} = \sqrt[3]{{{x^4} + 2{x^2} + 1}}$

Khi đó hàm số trở thành $y = {t^2} - 3t + 1$ với $t \ge 1$.

Bảng biến thiên

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số  $y = \sqrt[3]{{{x^4} + 2{x^2} + 1}} - 3\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} + 1$ là $- \dfrac{5}{4}$ khi và chỉ khi $t = \dfrac{3}{2}$ hay  $\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {\dfrac{{19}}{8}}$

$y > 0\forall x \in \left[ {0;2} \right] \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)x + 5 > 0\forall x \in \left[ {0;2} \right]$(1)

TH1: $m - 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 2$

$\Rightarrow \left( {m - 2} \right)x + 5 \ge 0 + 5 = 5 > 0\forall x \in \left[ {0;2} \right]$

TH2: $m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 2$

$\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow x <  - \dfrac{5}{{m - 2}}\forall x \in \left[ {0;2} \right]\\ \Leftrightarrow 2 <  - \dfrac{5}{{m - 2}} \Leftrightarrow \dfrac{{2m + 1}}{{m - 2}} < 0\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} < m < 2\end{array}$

Vậy $m >  - \dfrac{1}{2}$ thì $y > 0$

${x^2} - 3x + 2 - m = 0 \Rightarrow m = {x^2} - 3x + 2\,\,\,\left( 1 \right)$

Số nghiệm của phương trình (1) trên $\left[ { - 1;2} \right]$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^2} - 3x + 2$ với đường thẳng $y = m$ song song $Ox$ trên $\left[ { - 1;2} \right]$

Đồ thị có đỉnh $I\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{{ - 1}}{4}} \right)$

$f\left( { - 1} \right) = 6;f\left( 2 \right) = 0$

Để phương trình (1) có nghiệm thì $\dfrac{{ - 1}}{4} \le m \le 6$. Do $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có: $2{x^2} - x + 2 = 3 \Leftrightarrow 2{x^2} - x - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.$

Vậy tọa độ giao điểm là $\left( {1;3} \right),\left( { - \dfrac{1}{2};3} \right)$       

Hàm số $y = \left( {m - 5} \right){x^2} - 5x + 1$ là hàm số bậc nhất

$\Leftrightarrow m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 5$.