Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left| {2x - m} \right|$. Tìm $m$ để giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên $\left[ {1;2} \right]$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Dựa vào các nhận xét trên ta thấy $\mathop {\max }\limits_{[1;\,2]} f(x)$ chỉ có thể đạt được tại \(x = 1\) hoặc $x = 2$ .
Như vậy nếu đặt $M = \mathop {\max }\limits_{[1;\,2]} f(x)$ thì $M \ge f\left( 1 \right) = \left| {2 - m} \right|$ và $M \ge f\left( 2 \right) = \left| {4 - m} \right|$.
Ta có
$M \ge \dfrac{{f(1) + f(2)}}{2} = \dfrac{{\left| {2 - m} \right| + \left| {4 - m} \right|}}{2} $ $\ge \dfrac{{\left| {(2 - m) + (m - 4)} \right|}}{2} = 1$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\left| {2 - m} \right| = \left| {4 - m} \right|\\(2 - m)(m - 4) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $M$ là $1,$ đạt được chỉ khi $m = 3.$
Hướng dẫn giải:
Sử dụng kết quả:
Cho hàm số $f\left( x \right) = ax + b$ và đoạn \(\left[ {\alpha ;\beta } \right] \subset \mathbb{R}\) . Khi đó, đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $[\alpha ;\beta ]$ là một đoạn thẳng nên ta có một số tính chất:
$\mathop {\max }\limits_{\left[ {\alpha ,\beta } \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f(a);{\rm{ }}f(b)} \right\}$
$\mathop {\min }\limits_{\left[ {\alpha ,\beta } \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f(a);{\rm{ }}f(b)} \right\}$
$\mathop {\max }\limits_{\left[ {\alpha ,\beta } \right]} \left| {f(x)} \right| = \max \left\{ {\left| {f(\alpha )} \right|;\,\,\left| {f(\beta )} \right|} \right\}$.
$\mathop {\min }\limits_{\left[ {\alpha ,\beta } \right]} \left| {f(x)} \right| = \min \left\{ {\left| {f(\alpha )} \right|;\,\,\left| {f(\beta )} \right|} \right\}$.
