Tìm \(m\) để hàm số: \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - m}}\) là hàm số chẵn.

ĐKXĐ: \(\sqrt {{x^2} + 1}  \ne m\) (*)

Giả sử hàm số chẵn suy ra \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)

Ta có \(f\left( { - x} \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - m}}\)

Suy ra  \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - m}} = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - m}}\) với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)

\( \Leftrightarrow 2\left( {2{m^2} - 2} \right)x = 0\) với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)

\( \Leftrightarrow 2{m^2} - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow m =  \pm 1\)

*  Với \(m = 1\) ta có hàm số là \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}\)

ĐKXĐ : \(\sqrt {{x^2} + 1}  \ne 1 \Leftrightarrow x \ne 0\)

Suy ra TXĐ: ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

Dễ thấy với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) ta có \( - x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}\) là hàm số chẵn

*  Với \(m =  - 1\)  ta có hàm số là \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + 1}}\)

TXĐ: ${\rm{D}} = \mathbb{R}$

Dễ thấy với mọi \(x \in \mathbb{R}\) ta có \( - x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + 1}}\) là hàm số chẵn.

Vậy \(m =  \pm 1\) là giá trị cần tìm.