Tìm $m$ để hàm số: $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - m}}$ là hàm số chẵn.

ĐKXĐ: $\sqrt {{x^2} + 1}  \ne m$ (*)

Giả sử hàm số chẵn suy ra $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)

Ta có $f\left( { - x} \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - m}}$

Suy ra  $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)

$\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - m}} = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - m}}$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)

$\Leftrightarrow 2\left( {2{m^2} - 2} \right)x = 0$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)

$\Leftrightarrow 2{m^2} - 2 = 0$$\Leftrightarrow m =  \pm 1$

*  Với $m = 1$ ta có hàm số là $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}$

ĐKXĐ : $\sqrt {{x^2} + 1}  \ne 1 \Leftrightarrow x \ne 0$

Suy ra TXĐ: ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

Dễ thấy với mọi $x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ ta có $- x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ và $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$

Do đó $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}$ là hàm số chẵn

*  Với $m =  - 1$  ta có hàm số là $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + 1}}$

TXĐ: ${\rm{D}} = \mathbb{R}$

Dễ thấy với mọi $x \in \mathbb{R}$ ta có $- x \in \mathbb{R}$ và $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$

Do đó $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + 1}}$ là hàm số chẵn.

Vậy $m =  \pm 1$ là giá trị cần tìm.