Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng \(d\). Tìm hàm số đó biết \(d\) đi qua \(M(1;2)\) và cắt hai tia \(Ox,Oy\) tại \(P,Q\) sao cho \({S_{\Delta OPQ}}\) nhỏ nhất.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Đường thẳng $d$ cắt tia $Ox$ tại \(P\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\) và cắt tia ${\rm{O}}y$ tại \(Q\left( {0;b} \right)\) với \(a < 0,b > 0\)
Suy ra \({S_{\Delta OPQ}} = \dfrac{1}{2}OP.OQ = \dfrac{1}{2}.\left| { - \dfrac{b}{a}} \right|.\left| b \right| = - \dfrac{{{b^2}}}{{2a}}\) (1)
Ta có \(M \in d \Rightarrow 2 = a + b \Rightarrow b = 2 - a\) thay vào (1) ta được
${S_{\Delta OPQ}} = - \dfrac{{{{\left( {2 - a} \right)}^2}}}{{2a}} = - \dfrac{2}{a} - \dfrac{a}{2} + 2$
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số dương $- \dfrac{2}{a}$ và $ - \dfrac{a}{2}$ ta có:
$ - \dfrac{2}{a} - \dfrac{a}{2} \ge 2\sqrt {\left( { - \dfrac{2}{a}} \right).\left( { - \dfrac{a}{2}} \right)} = 2 \Rightarrow {S_{\Delta OPQ}} \ge 4$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \dfrac{2}{a} = - \dfrac{a}{2}}\\{a < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = - 2 \Rightarrow b = 4\)
Vậy hàm số cần tìm là \(y = - 2x + 4\).
Hướng dẫn giải:
- Đường thẳng \(d:y = ax + b\) cắt các trục tọa độ tại hai điểm \(\left( {0;b} \right),\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\)
- Đánh giá tìm GTNN của \({S_{\Delta OPQ}}\)
