Xét sự biến thiên của hàm số \(y = \sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1} \) trên tập xác định của nó. Áp dụng tìm số nghiệm của phương trình \(\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  = \sqrt {4{x^2} + 9}  + x\)

ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 5 \ge 0}\\{x - 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge  - \dfrac{5}{4}}\\{x \ge 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\)

Suy ra TXĐ: ${\rm{D}} = \left[ {1; + \infty } \right)$

Với mọi ${x_1},\,{x_2} \in \left[ {1; + \infty } \right),\,\,{x_1} \ne {x_2}$ ta có

\(\begin{array}{l}f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {{x_2} - 1}  - \sqrt {4{x_1} + 5}  - \sqrt {{x_1} - 1} \\ = \dfrac{{4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }}\\ = \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {\dfrac{4}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }}} \right)\end{array}\)

Suy ra \(\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{4}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }} > 0\)

Nên hàm số \(y = \sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1} \) đồng biến trên khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$.

Xét phương trình đã cho:

Đặt ${x^2} + 1 = t,\,\,t \ge 1 \Rightarrow {x^2} = t - 1$  phương trình trở thành

\(\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  = \sqrt {4t + 5}  + \sqrt {t - 1}  \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( t \right)\)

Nếu \(x > t \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( t \right)\) hay  \(\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  > \sqrt {4t + 5}  + \sqrt {t - 1} \)

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Nếu $x < t \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( t \right)$ hay  \(\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  < \sqrt {4t + 5}  + \sqrt {t - 1} \)

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy \(f\left( x \right) = f\left( t \right) \Leftrightarrow x = t\) hay ${x^2} + 1 = x \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0$ (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.