Cho hai đường thẳng \(d\) và \({d^\prime }\) biết \(d:2x + y - 8 = 0\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 3 - t}\end{array}} \right.\). Biết \(I\left( {a;{\rm{ }}b} \right)\) là tọa độ giao điểm của \(d\) và \({d^\prime }\). Khi đó tổng \(a + b\) bằng
\(I\) là giao điểm của hai đường thẳng nên \(I \in d'\) hay \(I\left( {1 + 2t;3 - t} \right)\).
\(I \in d\) nên \(2\left( {1 + 2t} \right) + \left( {3 - t} \right) - 8 = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(t = 1\).
Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 2}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \)\(I\left( {3;{\rm{ }}2} \right)\)\( \Rightarrow \)\(a + b = 5\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(\Delta :3x - 2y + 7 = 0\) cắt đường thẳng nào sau đây?
Ta có \(\Delta :3x - 2y + 7 = 0\).
Xét \({d_3}: - 3x + 2y + 7 = 0\) có \(\dfrac{3}{{ - 3}} = \dfrac{2}{{ - 2}} \ne \dfrac{7}{7}\) nên \(\Delta {\rm{//}}{d_3}\).
Tương tự đối với \({d_2}\),\({d_4}\) song song với \(\Delta \).
Xét \({d_1}:3x + 2y - 5 = 0\) có \(\dfrac{3}{3} \ne \dfrac{{ - 2}}{2}\) nên \({d_1}\) cắt \(\Delta \).
Vị trí tương đối của hai đường thẳng lần lượt có phương trình \(\dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 2\) và \(6x - 2y - 8 = 0\)
Ta có \(\dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 2\)$ \Leftrightarrow 3x - 2y - 6 = 0$. Do \(\dfrac{6}{3} \ne \dfrac{{ - 2}}{{ - 2}}\) nên hai đường thẳng cắt nhau.
Mặt khác \(6.3 + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right) \ne 0\) nên hai đường thẳng không vuông góc.
Cho bốn điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {4;0} \right)\), \(C\left( {1; - 3} \right)\), \(D\left( {7; - 7} \right)\). Vị trí tương đối của hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là
\(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {CD} = \left( {6; - 4} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 5} \right)\).
Ta thấy: \(\overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {AB} \Rightarrow \overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương.
Lại có: \(\dfrac{0}{3} \ne \dfrac{{ - 5}}{{ - 2}} \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương hay ba điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng.
Vậy hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) song song.
Cho đường thẳng ${d_1}:\,2x + y + 15 = 0$ và ${d_2}:\,x - 2y - 3 = 0$. Khẳng định nào sau đây đúng?
${d_1}$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = \left( {2;\,1} \right)$.
${d_2}$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_2} = \left( {1;\, - 2} \right)$.
Ta có ${\vec n_1}.{\vec n_2} = 2.1 + 1.\left( { - 2} \right) = 0$.
Vậy ${d_1}$ và ${d_2}$ vuông góc với nhau.
Xác định $m$ để $2$ đường thẳng $d:2x - 3y + 4 = 0$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 1 - 4mt\end{array} \right.$ vuông góc
$\left( d \right):2x - 3y + 4 = 0$ có VTPT là $\overrightarrow n = \left( {2; - 3} \right)$ suy ra VTCP của $\left( d \right)$ là ${\overrightarrow u _d} = \left( {3;2} \right)$.
$\left( {d'} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 1 - 4mt\end{array} \right.$ suy ra ${\overrightarrow u _{d'}} = \left( { - 3; - 4m} \right)$ là VTCP của $\left( {d'} \right)$.
Để $\left( {d'} \right)$ vuông góc với $\left( d \right)$ thì ${\overrightarrow u _d}{\overrightarrow {.u} _{d'}} = 0 \Leftrightarrow - 9 - 8m = 0 \Leftrightarrow m = - \dfrac{9}{8}$.
Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {4; - 2} \right)\)\( \Rightarrow \) vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2; - 4} \right) = - 2\left( {1;2} \right).\)
\({d_1}:x + my - 5 = 0\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {m; - 1} \right)\)
\({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3mt\\y = 3t\end{array} \right.\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {3m;\,\,3} \right)\)
Để \({d_1}\,{\rm{//}}\,{d_2}\) thì \(\overrightarrow {{u_1}} = k\overrightarrow {{u_2}} \left( {k \ne 0} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {m;\, - 1} \right) = k\left( {3m;\,\,3} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = k.3m\\ - 1 = k.3\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = - \dfrac{1}{3}\\m\left( {1 - 3k} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0\)
Khi đó \({d_1}:x - 5 = 0\) và \({d_2}:x = 1\) thỏa mãn \({d_1}\,{\rm{//}}\,{d_2}\).
\(\begin{array}{l}{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \dfrac{{x - 1}}{2}\\t = 3 - y\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{2} = 3 - y\\ \Rightarrow {d_2}:x + 2y - 7 = 0.\end{array}\)
+) Xét điểm \(M\left( {2; - 1} \right)\) ta có: \(2 + 2\left( { - 1} \right) - 7 = - 7 \ne 0 \Rightarrow \) loại A.
+) Xét điểm \(P\left( {3;\,\,5} \right)\) ta có: \(3 + 2.5 - 7 = 6 \ne 0 \Rightarrow \) loại B.
+) Xét điểm \(N\left( { - 7;\,\,0} \right)\) ta có: \( - 7 + 2.0 - 7 = - 14 \ne 0 \Rightarrow \) loại C.
+) Xét điểm \(Q\left( {3;\,2} \right)\) ta có: \(3 + 2.2 - 7 = 0 \Rightarrow \) Chọn D.
Đường thẳng \(\Delta :2x - y + 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right).\)
Tìm \(m\) để hai đường thẳng \({d_1}:2x - 3y - 10 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 1 - 4mt\end{array} \right.\) vuông góc với nhau.Tìm \(m\) để hai đường thẳng \({d_1}:2x - 3y - 10 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 1 - 4mt\end{array} \right.\) vuông góc với nhau.
\({d_1}:2x - 3y - 10 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 3} \right) \Rightarrow {d_1}\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} \left( { - 3; - 2} \right).\)
\({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 1 - 4mt\end{array} \right.\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 3; - 4m} \right).\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {d_1} \bot {d_2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\\ \Leftrightarrow - 3.\left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 4m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 9 + 8m = 0 \Leftrightarrow m = - \dfrac{9}{8}.\end{array}\)
Cho phương trình: \(ax + by + c = 0\;\left( 1 \right)\) với \({a^2} + {b^2} > 0\). Mệnh đề nào sau đây sai?
+ Phương trình \(\left( 1 \right)\) là phương trình tổng quát của đường thẳng có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) nên A đúng.
+ Nếu \(a = 0\) thì \(by + c = 0 \Leftrightarrow y = - \dfrac{c}{b}\) nên nó là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với \(Ox\left( {y = 0} \right)\) nên B đúng.
+ Nếu \(b = 0\) thì \(ax + c = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{c}{a}\) nên nó là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với \(Oy\left( {x = 0} \right)\) nên C đúng.
+ Ta có điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( 1 \right)\) khi và chỉ khi \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0\) nên D sai.
Mệnh đề nào sau đây sai? Đường thẳng \(\left( d \right)\) được xác định khi biết.
Nếu chỉ có vecto pháp tuyến hoặc một vecto chỉ phương thì thiếu điểm đi qua để viết phương trình đường thẳng.
Cho tam giác \(ABC\). Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
- Vì \(BC \bot AH\) nên \(\overrightarrow {BC} \) là một véc tơ pháp tuyến của \(AH\) nên A đúng.
- Véc tơ \(\overrightarrow {BC} \) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(BC\) nên B đúng.
- Không phải lúc nào các đường thẳng cũng có hệ số góc, vẫn xảy ra các trường hợp một trong ba đường thẳng đó không có hệ số góc nên C sai.
- Đường trung trực của \(AB\) vuông góc với \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm VTPT.
Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 - 5t\end{array} \right.\).
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 5} \right)\).
Cho đường thẳng \(\left( d \right):2x + 3y - 4 = 0\). Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của $\left( d \right)$ ?
Ta có \(\left( d \right):2x + 3y - 4 = 0\) thì có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {2;3} \right) \), khi đó nó cũng nhận $-2\overrightarrow n=\left( { - 4; - 6} \right)$ làm VTPT.
Cho đường thẳng \(\left( d \right):3x - 7y + 15 = 0\). Mệnh đề nào sau đây sai?
Đáp án A : \(\overrightarrow n = \left( {3; - 7} \right)\) là VTPT của \(d\) nên \(\overrightarrow u = \left( {7;3} \right)\) là VTCP của \(d\)
Đáp án B : \(\left( d \right):3x - 7y + 15 = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{3}{7}x + \dfrac{{15}}{7}\) nên có hệ số góc \(k = \dfrac{3}{7}\)
Đáp án C : Điểm \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc \(d\) vì \(3.0 - 7.0 + 15 \ne 0\)
Đáp án D : Giả sử $N\left( {5;0} \right) \in d:3x - 7y + 15 = 0 \Rightarrow 3.5 - 7.0 + 15 = 0\left( {vl} \right)$
Cho $\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.$ điểm nào sau đây thuộc $d$?
Thay $x = - 1;y = - 3$ vào phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 - t\\ - 3 = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 3\end{array} \right. (VN)$
$\Rightarrow ( - 1; - 3)$ không thuộc đường thẳng $d$ .
Thay $x = - 1;y = 2$ vào phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 - t\\2 = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.(VN) $
$\Rightarrow ( - 1;2)$ không thuộc đường thẳng \(d\).
Thay \(x=2; y=1\) vào phương trình đường thẳng d $\left\{ \begin{array}{l}2 = 1 - t\\1 = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - 1\end{array} \right.\Rightarrow t=-1 $
$\Rightarrow (2;1)$ thuộc đường thẳng \(d\).
Cho $2$ đường thẳng : ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.$ ; ${d_2}:\dfrac{{x + 3}}{3} = \dfrac{y}{1}$. Toạ độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ là :
Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\), khi đó \(M \in {d_1}\) nên tọa độ của \(M\) thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.$
Thay vào ${d_2}$ ta có: $\dfrac{{ - 1 + 3t + 3}}{3} = \dfrac{{1 + 2t}}{1} $ $\Rightarrow \dfrac{{3t + 2}}{3} = \dfrac{{1 + 2t}}{1}$ $ \Rightarrow 3t + 2 = 6t + 3$ $ \Rightarrow 3t = - 1 $ $\Rightarrow t = \dfrac{{ - 1}}{3}$
Giao điểm của hai đường thẳng là $\left( { - 2;\dfrac{1}{3}} \right)$
Cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):mx + y = m + 1\,\,,\left( {{d_2}} \right):x + my = 2\,\) cắt nhau khi và chỉ khi :
Ta có:
\({d_1}\) cắt ${d_2}$ khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| \ne 0 \Leftrightarrow {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} \ne 0\\ \Leftrightarrow m.m - 1.1 \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\end{array}\)
