Một số khái niệm phương trình đường thẳng

$I$ là giao điểm của hai đường thẳng nên $I \in d'$ hay $I\left( {1 + 2t;3 - t} \right)$.

$I \in d$ nên $2\left( {1 + 2t} \right) + \left( {3 - t} \right) - 8 = 0$$\Leftrightarrow$$t = 1$.

Khi đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 2}\end{array}} \right.$$\Rightarrow$$I\left( {3;{\rm{ }}2} \right)$$\Rightarrow$$a + b = 5$.

Ta có $\Delta :3x - 2y + 7 = 0$.

Xét ${d_3}: - 3x + 2y + 7 = 0$ có $\dfrac{3}{{ - 3}} = \dfrac{2}{{ - 2}} \ne \dfrac{7}{7}$ nên $\Delta {\rm{//}}{d_3}$.

Tương tự đối với ${d_2}$,${d_4}$ song song với $\Delta$.

Xét ${d_1}:3x + 2y - 5 = 0$ có $\dfrac{3}{3} \ne \dfrac{{ - 2}}{2}$ nên ${d_1}$ cắt $\Delta$.

Ta có $\dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 2$$\Leftrightarrow 3x - 2y - 6 = 0$. Do $\dfrac{6}{3} \ne \dfrac{{ - 2}}{{ - 2}}$ nên hai đường thẳng cắt nhau.

Mặt khác $6.3 + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right) \ne 0$ nên hai đường thẳng không vuông góc.

$\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 2} \right)$, $\overrightarrow {CD}  = \left( {6; - 4} \right)$ và $\overrightarrow {AC}  = \left( {0; - 5} \right)$.

Ta thấy: $\overrightarrow {CD}  = 2\overrightarrow {AB}  \Rightarrow \overrightarrow {CD}$ và $\overrightarrow {AB}$ cùng phương.

Lại có: $\dfrac{0}{3} \ne \dfrac{{ - 5}}{{ - 2}} \Rightarrow$ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ không cùng phương hay ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.

Vậy hai đường thẳng $AB$ và $CD$ song song.

${d_1}$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = \left( {2;\,1} \right)$.

${d_2}$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_2} = \left( {1;\, - 2} \right)$.

Ta có ${\vec n_1}.{\vec n_2} = 2.1 + 1.\left( { - 2} \right) = 0$.

Vậy ${d_1}$ và ${d_2}$ vuông góc với nhau.

$\left( d \right):2x - 3y + 4 = 0$ có VTPT là $\overrightarrow n  = \left( {2; - 3} \right)$ suy ra VTCP của $\left( d \right)$ là ${\overrightarrow u _d} = \left( {3;2} \right)$.

$\left( {d'} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 1 - 4mt\end{array} \right.$ suy ra ${\overrightarrow u _{d'}} = \left( { - 3; - 4m} \right)$ là VTCP của $\left( {d'} \right)$.

Để $\left( {d'} \right)$ vuông góc với $\left( d \right)$ thì ${\overrightarrow u _d}{\overrightarrow {.u} _{d'}} = 0 \Leftrightarrow  - 9 - 8m = 0 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{9}{8}$.

Đường thẳng $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left( {4; - 2} \right)$$\Rightarrow$ vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( { - 2; - 4} \right) =  - 2\left( {1;2} \right).$

${d_1}:x + my - 5 = 0$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} \left( {m; - 1} \right)$

${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3mt\\y = 3t\end{array} \right.$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} \left( {3m;\,\,3} \right)$

Để ${d_1}\,{\rm{//}}\,{d_2}$ thì $\overrightarrow {{u_1}}  = k\overrightarrow {{u_2}} \left( {k \ne 0} \right)$ $\Leftrightarrow \left( {m;\, - 1} \right) = k\left( {3m;\,\,3} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = k.3m\\ - 1 = k.3\end{array} \right.$ 

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k =  - \dfrac{1}{3}\\m\left( {1 - 3k} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0$

Khi đó ${d_1}:x - 5 = 0$ và ${d_2}:x = 1$ thỏa mãn ${d_1}\,{\rm{//}}\,{d_2}$. 

$\begin{array}{l}{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \dfrac{{x - 1}}{2}\\t = 3 - y\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{2} = 3 - y\\ \Rightarrow {d_2}:x + 2y - 7 = 0.\end{array}$

+) Xét điểm $M\left( {2; - 1} \right)$ ta có: $2 + 2\left( { - 1} \right) - 7 =  - 7 \ne 0 \Rightarrow$ loại A.

+) Xét điểm $P\left( {3;\,\,5} \right)$ ta có: $3 + 2.5 - 7 = 6 \ne 0 \Rightarrow$ loại B.

+) Xét điểm $N\left( { - 7;\,\,0} \right)$ ta có: $- 7 + 2.0 - 7 =  - 14 \ne 0 \Rightarrow$ loại C.

+) Xét điểm $Q\left( {3;\,2} \right)$ ta có: $3 + 2.2 - 7 = 0 \Rightarrow$ Chọn D.

Đường thẳng $\Delta :2x - y + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right).$

${d_1}:2x - 3y - 10 = 0$ có VTPT là: $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 3} \right) \Rightarrow {d_1}$ có VTCP $\overrightarrow {{u_1}} \left( { - 3; - 2} \right).$

${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 1 - 4mt\end{array} \right.$ có VTCP $\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 3; - 4m} \right).$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {d_1} \bot {d_2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\\ \Leftrightarrow  - 3.\left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 4m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 9 + 8m = 0 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{9}{8}.\end{array}$

+ Phương trình $\left( 1 \right)$ là phương trình tổng quát của đường thẳng có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)$ nên A đúng.

+ Nếu $a = 0$ thì $by + c = 0 \Leftrightarrow y =  - \dfrac{c}{b}$ nên nó là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với $Ox\left( {y = 0} \right)$ nên B đúng.

+ Nếu $b = 0$ thì $ax + c = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{c}{a}$ nên nó là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với $Oy\left( {x = 0} \right)$ nên C đúng.

+ Ta có điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đường thẳng $\left( 1 \right)$ khi và chỉ khi $a{x_0} + b{y_0} + c = 0$ nên D sai.

Nếu chỉ có vecto pháp tuyến hoặc một vecto chỉ phương thì thiếu điểm đi qua để viết phương trình đường thẳng.

- Vì $BC \bot AH$ nên $\overrightarrow {BC}$ là một véc tơ pháp tuyến của $AH$ nên A đúng.

- Véc tơ $\overrightarrow {BC}$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $BC$ nên B đúng.

- Không phải lúc nào các đường thẳng cũng có hệ số góc, vẫn xảy ra các trường hợp một trong ba đường thẳng đó không có hệ số góc nên C sai.

- Đường trung trực của $AB$ vuông góc với $AB$ nên nhận $\overrightarrow {AB}$ làm VTPT.

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow u  = \left( {2; - 5} \right)$.

Ta có $\left( d \right):2x + 3y - 4 = 0$ thì có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {2;3} \right)$, khi đó nó cũng nhận $-2\overrightarrow n=\left( { - 4; - 6} \right)$ làm VTPT.

Đáp án A : $\overrightarrow n  = \left( {3; - 7} \right)$ là VTPT của $d$ nên $\overrightarrow u  = \left( {7;3} \right)$ là VTCP của $d$

Đáp án B : $\left( d \right):3x - 7y + 15 = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{3}{7}x + \dfrac{{15}}{7}$ nên có hệ số góc $k = \dfrac{3}{7}$

Đáp án C : Điểm $O\left( {0;0} \right)$ không thuộc $d$ vì $3.0 - 7.0 + 15 \ne 0$

Đáp án D : Giả sử $N\left( {5;0} \right) \in d:3x - 7y + 15 = 0 \Rightarrow 3.5 - 7.0 + 15 = 0\left( {vl} \right)$

Thay $x =  - 1;y =  - 3$  vào phương trình đường thẳng  $d:\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 - t\\ - 3 = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t =  - 3\end{array} \right. (VN)$

$\Rightarrow ( - 1; - 3)$ không thuộc đường thẳng $d$ .

Thay $x =  - 1;y = 2$  vào phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 - t\\2 = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.(VN)$

$\Rightarrow ( - 1;2)$ không thuộc đường thẳng $d$.

Thay $x=2; y=1$ vào phương trình đường thẳng d $\left\{ \begin{array}{l}2 = 1 - t\\1 = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 1\end{array} \right.\Rightarrow t=-1$

$\Rightarrow (2;1)$ thuộc đường thẳng $d$.

Gọi $M\left( {x;y} \right)$ là giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$, khi đó $M \in {d_1}$ nên tọa độ của $M$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.$

 Thay vào ${d_2}$  ta có: $\dfrac{{ - 1 + 3t + 3}}{3} = \dfrac{{1 + 2t}}{1}$ $\Rightarrow \dfrac{{3t + 2}}{3} = \dfrac{{1 + 2t}}{1}$ $\Rightarrow 3t + 2 = 6t + 3$ $\Rightarrow 3t =  - 1$ $\Rightarrow t = \dfrac{{ - 1}}{3}$

Giao điểm của hai đường thẳng là $\left( { - 2;\dfrac{1}{3}} \right)$

Ta có:

${d_1}$ cắt ${d_2}$ khi và chỉ khi:

$\begin{array}{l}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| \ne 0 \Leftrightarrow {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} \ne 0\\ \Leftrightarrow m.m - 1.1 \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\end{array}$