Một số khái niệm phương trình đường thẳng

Ta thấy $\dfrac{3}{3} \ne \dfrac{{ - 2}}{2}$ nên hai đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ và $\left( {{d_1}} \right)$ cắt nhau.

Ta có $\left( d \right):\,y = 2x - 1 \Rightarrow \left( d \right):2x - y - 1 = 0$.

Xét từng đáp án ta thấy:

Đáp án A: $\dfrac{2}{2} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 1}}{5}$ nên hai đường thẳng song song.

Đáp án B: $\dfrac{2}{2} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 1}}{{ - 5}}$ nên hai đường thẳng song song.

Đáp án C: $\dfrac{{ - 2}}{2} = \dfrac{1}{{ - 1}} \ne \dfrac{0}{{ - 1}}$ nên hai đường thẳng song song.

Đáp án D: $\dfrac{2}{2} \ne \dfrac{{ - 1}}{1}$ nên đường thẳng ở đáp án D không song song với $d$.

+) Nếu $m = 0$ thì ${d_1}:y = 1,{d_2}:x = 2$ cắt nhau tại $\left( {2;1} \right)$.

+) Nếu $m \ne 0$ thì ${d_1}//{d_2} \Leftrightarrow \dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{m} \ne \dfrac{{m + 1}}{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{m}\\\dfrac{1}{m} \ne \dfrac{{m + 1}}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 1\\1.2 \ne m\left( {m + 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  \pm 1\\{m^2} + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  \pm 1\\m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow m =  - 1\end{array}$

Ta có: $\left( {{\Delta _1}} \right)$ có VTPT là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {11; - 12} \right)$; $\left( {{\Delta _2}} \right)$ có VTPT là $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {12;11} \right)$.

Xét $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 11.12 - 12.11 = 0$ $\Rightarrow \left( {{\Delta _1}} \right) \bot \left( {{\Delta _2}} \right)$

$\left( {{\Delta _1}} \right)$ có $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {{m^2} + 1; - m} \right)$; $\left( {{\Delta _2}} \right)$ có $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 3; - 4m} \right)$

 $\left( {{\Delta _1}} \right) \bot \left( {{\Delta _2}} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}}  \bot \overrightarrow {{u_2}}  \Leftrightarrow  - 3\left( {{m^2} + 1} \right) + 4{m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} = 3 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 3$

Ta có: ${\Delta _1} \equiv {\Delta _1} \Leftrightarrow \dfrac{{2m - 1}}{3} = \dfrac{{{m^2}}}{4} = \dfrac{1}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2m - 1}}{3} =  - 1\\\dfrac{{{m^2}}}{4} =  - 1\left( {VN} \right)\end{array} \right.$

Vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn.

Ta có: $\Delta$ nhận $\overrightarrow n  = \left( {3;1} \right)$ là một VTPT.

Vì $d//\Delta  \Rightarrow \overrightarrow n$ cũng là VTPT của d.

$\Rightarrow$ Phương trình d: $3\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 6 = 0.$