Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + mt\\y = 3 - 5t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left( {m + 1} \right)x + my - 5 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \({\Delta _1}\) vuông góc với \({\Delta _2}\).

Ta có: \({\Delta _1}\) nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {m; - 5} \right)\) là một VTCP

\({\Delta _2}\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {m + 1;m} \right)\) là một VTPT \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - m;m + 1} \right)\) là 1 VTCP của \({\Delta _2}\)

\({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}}  \bot \overrightarrow {{u_2}}  \Leftrightarrow  - {m^2} - 5\left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - {m^2} - 5m - 5 = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 5m + 5 = 0\)

Tổng các giá trị của m là \( - 5\)  (hệ thức Vi-ét).