Bất đẳng thức

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\\left| x \right| \ge 0\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow {x^2} + 3\left| x \right| \ge 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \({x^2} = \left| x \right| = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{4}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}} - 1 = \dfrac{{4 - x}}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}} = \dfrac{{4 - 4x + 3x}}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}} = \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}} + 3\)

Vì  \(0 < x < 1 \Rightarrow \dfrac{{1 - x}}{x} > 0;\,\,\,\,\dfrac{x}{{1 - x}} > 0\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta được: \(f\left( x \right) \ge 2\sqrt 4  + 3 = 7\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{x} = \dfrac{x}{{x - 1}} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = {x^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy \(\mathop {Min}\limits_{\left( {0;\,\,1} \right)} \,\,f\left( x \right) = 7\,\,\,\,khi\,\,\,\,x = \dfrac{1}{2}.\)

Ta có : \(a < b\)

+) Nếu \(c < 0 \Rightarrow ac > bc\)\( \Rightarrow \) Đáp án \(A\) và đáp án \(C\) sai.

+) Nếu \(c > 0 \Rightarrow ac < bc \Rightarrow \) Đáp án \(B\) sai và đáp án \(D\) đúng.

Ta có: \(\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b} \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} < 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{b - a}}{{ab}} < 0\)

Mà \(ab > 0\) nên \(b - a < 0 \Leftrightarrow b < a\).

Vậy \(a > b\).

Ta có: \(\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b} \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} < 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{b - a}}{{ab}} < 0\)

Mà \(ab > 0\) nên \(b - a < 0 \Leftrightarrow b < a\).

Vậy \(a > b\).

Ta có: \(\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b} \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} < 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{b - a}}{{ab}} < 0\)

Mà \(ab > 0\) nên \(b - a < 0 \Leftrightarrow b < a\).

Vậy \(a > b\).

Ta có:

\(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \le 2{\left( {a + b} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \le {\left( {a + b} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} \le {\left( {a + b} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} \le {a^2} + 2ab + {b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \le 0\end{array}\)

Mà \({\left( {a - b} \right)^2}\) luôn \( \ge 0\) với mọi \(x \in R\)

\( \Rightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \le 0\) khi và chỉ khi \(a - b = 0 \Leftrightarrow a = b\)

Vậy \(a = b\).

+) \({a^2} > 0\) thì \(\left[ \begin{array}{l}a < 0\\a > 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A sai.

+) \({a^2} > a\)\( \Leftrightarrow {a^2} - a > 0\)\( \Leftrightarrow a\left( {a - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 1\\a < 0\end{array} \right.\)

Vậy nếu \({a^2} > a\) thì \(a > 1\) hoặc \(a < 0\)

\( \Rightarrow \) Đáp án B.

Đáp án C sai (vì thiếu trường hợp \(a > 1\))

+) Ta có:

\({a^2} > a\)\( \Leftrightarrow {a^2} - a > 0\)\( \Leftrightarrow a\left( {a - 1} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 1\\a < 0\end{array} \right.\)

 Vậy \({a^2} > a\) đúng với với \(a < 0\).

\( \Rightarrow \) Đáp án D đúng.

+) \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) luôn đúng với mọi \(a,b \in R\).

\( \Rightarrow \) Mệnh đề \(I\) đúng.

+) Giả sử \(a = 0;b =  - 1\)

\( \Rightarrow 0.\left( { - 1} \right) \le {0^3} + {\left( { - 1} \right)^3} \Rightarrow 0 <  - 1\) (vô lý)

\( \Rightarrow \) Mệnh đề \(II\) sai.

+) Nếu \(ab < 0\)\( \Rightarrow \sqrt {ab} \) không xác định.

\( \Rightarrow \) Mệnh đề \(III\) không đúng.

Vậy chỉ có mệnh đề \(I\) đúng.

Vì \(x > 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{2} > 0\\\dfrac{8}{x} > 0\end{array} \right.\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\dfrac{x}{2}\) và \(\dfrac{8}{x}\) ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{2} + \,\dfrac{8}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{8}{x}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} + \,\dfrac{8}{x} \ge 2\sqrt 4 \\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} + \,\dfrac{8}{x} \ge 4\end{array}\)

\( \Rightarrow y \ge 4\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{8}{x}\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Leftrightarrow x = 4\). (Vì \(x>0\))

Vậy \(\min y = 4 \Leftrightarrow x = 4\).

Với các số dương \(x,\,\,y\) áp dung hệ quả của bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2} \ge xy \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge xy\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

\(\begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge 4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án B sai.

\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2} \ge xy \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge xy\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \le \dfrac{1}{{xy}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2} \ge {\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2} \\\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án D đúng.

Vì \(x > 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}2x > 0\\\dfrac{1}{x} > 0\end{array} \right.\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(2x\) và \(\dfrac{1}{x}\) ta có:

\(\begin{array}{l}2x + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt {2x \cdot \dfrac{1}{x}} \Leftrightarrow 2x + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt 2 \end{array}\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge 2\sqrt 2 \)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(2x = \dfrac{1}{x} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Vậy \(\min f\left( x \right) = 2\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Ta có:

\(B =  - {x^2} + 2x + 1\)\( =  - {x^2} + 2x - 1 + 2\)\( =  - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2 =  - {\left( {x - 1} \right)^2} + 2\)

Do \( - {\left( {x - 1} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \in R\)

\( \Rightarrow  - {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \le 2\) với mọi \(x \in R\)

\( \Rightarrow B \le 2\) với mọi \(x \in R\)

Vậy \(\max B = 2\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow x = 1\).

Với \(x \ne 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\\dfrac{3}{{{x^2}}} > 0\end{array} \right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \({x^2}\) và \(\dfrac{3}{{{x^2}}}\) ta có :

\(\begin{array}{l}{x^2} + \dfrac{3}{{{x^2}}} \ge 2\sqrt {{x^2} \cdot \dfrac{3}{{{x^2}}}} \\ \Leftrightarrow {x^2} + \dfrac{3}{{{x^2}}} \ge 2\sqrt 3 \end{array}\)

\( \Rightarrow y \ge 2\sqrt 3 \)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{3}{{{x^2}}}\)\( \Leftrightarrow {x^4} = 3\)\( \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt[4]{3}\)

Vậy \(\min y = 2\sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt[4]{3}\).

Ta có:

\({\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in R\)

\({\left( {y - 3} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(y \in R\)

\( \Rightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x,\,\,y \in R\)

\( \Rightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + 3 \ge 3\) với mọi \(x,\,\,y \in R\)

\( \Rightarrow C \ge 3\) với mọi \(x,\,\,y \in R\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(\min C = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 3\end{array} \right.\).

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x,\,\,y\) ta có: \({\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2} \ge xy\)

Mà \(x + y = 12\)\( \Rightarrow xy \le {\left( {\dfrac{{12}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow xy \le 36\) 

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = 6\).

Vậy \(\max y = 36 \Leftrightarrow x = y = 6\).

Theo đề bài, ta có:

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{{a^2} + 5}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2} + 1 + 4}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\\\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} + \dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\\\,\,\,\, = \sqrt {{a^2} + 1}  + \dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt {{a^2} + 1} \) và \(\dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\) ta có:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {{a^2} + 1}  + \dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} \ge 2\sqrt {\sqrt {{a^2} + 1}  \cdot \dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}} \\ \Leftrightarrow A = \sqrt {{a^2} + 1}  + \dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} \ge 4\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 1}  = \dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\)\( \Leftrightarrow {a^2} + 1 = 4 \Leftrightarrow {a^2} = 3\)\( \Leftrightarrow a =  \pm \sqrt 3 \).

\( \Rightarrow \min A = 4 \Leftrightarrow a =  \pm \sqrt 3 \)

Vậy có \(2\) giá trị của \(a\) để biểu thức \(A = \dfrac{{{a^2} + 5}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có:  \(P = \dfrac{x}{3} + \dfrac{3}{{x - 3}}\)\( = \dfrac{{x - 3 + 3}}{3} + \dfrac{3}{{x - 3}}\)\( = \dfrac{{x - 3}}{3} + \dfrac{3}{{x - 3}} + 1\)

Vì \(x > 3\) nên \(x - 3 > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\dfrac{{x - 3}}{3}\) và \(\dfrac{3}{{x - 3}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{x - 3}}{3} + \dfrac{3}{{x - 3}} + 1 \\\ge 2.\sqrt {\dfrac{{x - 3}}{3} \cdot \dfrac{3}{{x - 3}}}  + 1\\ \Leftrightarrow P = \dfrac{{x - 3}}{3} + \dfrac{3}{{x - 3}} + 1 \ge 3\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{3} = \dfrac{3}{{x - 3}}\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} = 9\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 6\end{array} \right.\)

Mà \(x > 3\) nên \(x = 6\).

Vậy \(\min P = 3 \Leftrightarrow x = 6\)

Với \(a > 0,\,\,b > 0,\,\,c > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {1 + \dfrac{b}{c}} \right)\left( {1 + \dfrac{c}{a}} \right)\left( {1 + \dfrac{a}{b}} \right)\\ \ge 2\sqrt {\dfrac{b}{c}} .2\sqrt {\dfrac{c}{a}} .2\sqrt {\dfrac{a}{b}} \\ \Leftrightarrow \left( {1 + \dfrac{b}{c}} \right)\left( {1 + \dfrac{c}{a}} \right)\left( {1 + \dfrac{a}{b}} \right) \\\ge 8\sqrt {\dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{a} \cdot \dfrac{a}{b}} \\ \Leftrightarrow \left( {1 + \dfrac{b}{c}} \right)\left( {1 + \dfrac{c}{a}} \right)\left( {1 + \dfrac{a}{b}} \right) \ge 8\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án \(A,C\) sai và đáp án \(B\) đúng.

\(\begin{array}{l}\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 2\sqrt {ab} .2\sqrt {bc} .2\sqrt {ac} \\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 8\sqrt {{a^2}.{b^2}.{c^2}} \\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 8abc\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án D sai.

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\3 - x \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 2 \le x \le 3\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2}  \ge 0\\\sqrt {3 - x}  \ge 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow y = \sqrt {x - 2}  + \sqrt {3 - x}  \ge 0\).

Ta có: \(y = \sqrt {x - 2}  + \sqrt {3 - x} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y^2} = x - 2 + 3 - x + 2\sqrt {x - 2} .\sqrt {3 - x} \\ \Rightarrow {y^2} = 1 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right)}  \ge 1\\ \Rightarrow y \ge 1\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\3 - x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(\min y = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\left( {x - 2} \right)\)  và \(\left( {3 - x} \right)\)  ta có:

\(\begin{array}{l}x - 2 + 3 - x \ge 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right)} \\ \Rightarrow 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right)}  \le 1\\ \Rightarrow 1 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right)}  \le 1 + 1\\ \Rightarrow {y^2} \le 2\\ \Rightarrow y \le \sqrt 2 \end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow x - 2 = 3 - x\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\)

Vậy \(\max \,y = \sqrt 2  \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\)

Vậy \(1 \le y \le \sqrt 2 \).