Cho hàm số: \(y = \sqrt {x - 2}  + \sqrt {3 - x} \)

Khẳng định nào sau đây là đúng?

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\3 - x \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 2 \le x \le 3\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2}  \ge 0\\\sqrt {3 - x}  \ge 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow y = \sqrt {x - 2}  + \sqrt {3 - x}  \ge 0\).

Ta có: \(y = \sqrt {x - 2}  + \sqrt {3 - x} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y^2} = x - 2 + 3 - x + 2\sqrt {x - 2} .\sqrt {3 - x} \\ \Rightarrow {y^2} = 1 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right)}  \ge 1\\ \Rightarrow y \ge 1\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\3 - x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(\min y = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\left( {x - 2} \right)\)  và \(\left( {3 - x} \right)\)  ta có:

\(\begin{array}{l}x - 2 + 3 - x \ge 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right)} \\ \Rightarrow 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right)}  \le 1\\ \Rightarrow 1 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right)}  \le 1 + 1\\ \Rightarrow {y^2} \le 2\\ \Rightarrow y \le \sqrt 2 \end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow x - 2 = 3 - x\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\)

Vậy \(\max \,y = \sqrt 2  \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\)

Vậy \(1 \le y \le \sqrt 2 \).