Cho hàm số: $y = \sqrt {x - 2}  + \sqrt {3 - x}$

Khẳng định nào sau đây là đúng?

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\3 - x \ge 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow 2 \le x \le 3$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2}  \ge 0\\\sqrt {3 - x}  \ge 0\end{array} \right.$$\Rightarrow y = \sqrt {x - 2}  + \sqrt {3 - x}  \ge 0$.

Ta có: $y = \sqrt {x - 2}  + \sqrt {3 - x}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {y^2} = x - 2 + 3 - x + 2\sqrt {x - 2} .\sqrt {3 - x} \\ \Rightarrow {y^2} = 1 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right)}  \ge 1\\ \Rightarrow y \ge 1\end{array}$

Dấu “$=$” xảy ra $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\3 - x = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.$

Vậy $\min y = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm $\left( {x - 2} \right)$  và $\left( {3 - x} \right)$  ta có:

$\begin{array}{l}x - 2 + 3 - x \ge 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right)} \\ \Rightarrow 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right)}  \le 1\\ \Rightarrow 1 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right)}  \le 1 + 1\\ \Rightarrow {y^2} \le 2\\ \Rightarrow y \le \sqrt 2 \end{array}$

Dấu “$=$” xảy ra $\Leftrightarrow x - 2 = 3 - x$$\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}$

Vậy $\max \,y = \sqrt 2  \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}$

Vậy $1 \le y \le \sqrt 2$.