Cho $a,\,\,b,\,\,c$ dương. Bất đẳng thức sau đây luôn đúng?

Với $a > 0,\,\,b > 0,\,\,c > 0$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương $a,\,\,b,\,\,c$ ta có:

$\begin{array}{l}\left( {1 + \dfrac{b}{c}} \right)\left( {1 + \dfrac{c}{a}} \right)\left( {1 + \dfrac{a}{b}} \right)\\ \ge 2\sqrt {\dfrac{b}{c}} .2\sqrt {\dfrac{c}{a}} .2\sqrt {\dfrac{a}{b}} \\ \Leftrightarrow \left( {1 + \dfrac{b}{c}} \right)\left( {1 + \dfrac{c}{a}} \right)\left( {1 + \dfrac{a}{b}} \right) \\\ge 8\sqrt {\dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{a} \cdot \dfrac{a}{b}} \\ \Leftrightarrow \left( {1 + \dfrac{b}{c}} \right)\left( {1 + \dfrac{c}{a}} \right)\left( {1 + \dfrac{a}{b}} \right) \ge 8\end{array}$

$\Rightarrow$ Đáp án $A,C$ sai và đáp án $B$ đúng.

$\begin{array}{l}\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 2\sqrt {ab} .2\sqrt {bc} .2\sqrt {ac} \\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 8\sqrt {{a^2}.{b^2}.{c^2}} \\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 8abc\end{array}$

$\Rightarrow$ Đáp án D sai.