Cho biểu thức: \(A = \dfrac{{{a^2} + 5}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\)

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị của \(a\) để biểu thức \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất?

Theo đề bài, ta có:

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{{a^2} + 5}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2} + 1 + 4}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\\\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} + \dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\\\,\,\,\, = \sqrt {{a^2} + 1}  + \dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt {{a^2} + 1} \) và \(\dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\) ta có:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {{a^2} + 1}  + \dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} \ge 2\sqrt {\sqrt {{a^2} + 1}  \cdot \dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}} \\ \Leftrightarrow A = \sqrt {{a^2} + 1}  + \dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} \ge 4\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 1}  = \dfrac{4}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\)\( \Leftrightarrow {a^2} + 1 = 4 \Leftrightarrow {a^2} = 3\)\( \Leftrightarrow a =  \pm \sqrt 3 \).

\( \Rightarrow \min A = 4 \Leftrightarrow a =  \pm \sqrt 3 \)

Vậy có \(2\) giá trị của \(a\) để biểu thức \(A = \dfrac{{{a^2} + 5}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\) đạt giá trị nhỏ nhất.