Tổng hợp câu hay và khó chương 8

Ta có $R = \dfrac{{abc}}{{4S}}$, $r = \dfrac{S}{p}$

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $b = c$ và $a = \sqrt {{b^2} + {c^2}}  = b\sqrt 2$

Xét tỉ số $\dfrac{R}{r} = \dfrac{{abc.p}}{{4{S^2}}}$$= \dfrac{{abc.\dfrac{{a + b + c}}{2}}}{{4.\dfrac{1}{4}.{{\left( {b.c} \right)}^2}}}$$= \dfrac{{a\left( {a + 2b} \right)}}{{2{b^2}}}$$= \dfrac{{2{b^2}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{{2{b^2}}}$$= 1 + \sqrt 2$.

Ta có $\left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 18$.

Dựng điểm $I$ thỏa mãn $2\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB}  + 4\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{4}{9}\overrightarrow {AC}$.

Khi đó: $\left| {2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  + 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right|$ $\Leftrightarrow 9\left| {\overrightarrow {MI} } \right| = 18$ $\Leftrightarrow IM = 2$.

Do đó tập hợp các điểm $M$ là đường tròn cố định có bán kính $R = 2\,{\rm{cm}}$.

Ta có $\widehat {{C_1}D{A_1}} = 90^\circ  - 49^\circ  = 41^\circ$; $\widehat {{C_1}D{B_1}} = 90^\circ  - 35^\circ  = 55^\circ$, nên $\widehat {{A_1}D{B_1}} = 14^\circ$.

Xét tam giác ${A_1}D{B_1}$, có $\dfrac{{{A_1}{B_1}}}{{\sin \widehat {{A_1}D{B_1}}}} = \dfrac{{{A_1}D}}{{\sin \widehat {{A_1}{B_1}D}}}$$\Rightarrow {A_1}D = \dfrac{{12.\sin 35^\circ }}{{\sin 14^\circ }}$$\approx 28,45\,{\rm{m}}$.

Xét tam giác ${C_1}{A_1}D$ vuông tại ${C_1}$, có

$\sin \widehat {{C_1}{A_1}D} = \dfrac{{{C_1}D}}{{{A_1}D}}$$\Rightarrow {C_1}D = {A_1}D.\sin {C_1}{A_1}D = 28,45.\sin 49^\circ$$\approx 21,47\,{\rm{m}}$$\Rightarrow CD = {C_1}D + C{C_1} \approx 22,77{\rm{ m}}$.

Ta có chiều cao của tòa nhà chính là đoạn $BH$.

Mà $BH = CD + DH$$= CD + 7$.

Xét tam giác $ACD$ vuông tại $D$ có $AC = \dfrac{{CD}}{{\sin 40^\circ }}$

Xét tam giác $ABD$ vuông tại $D$ có $AB = \dfrac{{5 + CD}}{{\sin 50^\circ }}$

Xét tam giác $ABC$ có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \widehat {BAC}$

$\Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}50^\circ }} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}40^\circ }} - \dfrac{{2\cos 10^\circ }}{{\sin 40^\circ \sin 50^\circ }}} \right)C{D^2} + \left( {\dfrac{{10}}{{{{\sin }^2}50^\circ }} - \dfrac{{10\cos 10^\circ }}{{\sin 40^\circ \sin 50^\circ }}} \right)CD + \dfrac{{25}}{{{{\sin }^2}50^\circ }} - 25 = 0$$\Leftrightarrow CD \approx 11,9$

$\Rightarrow BC \approx 7 + 11,9$$\approx 18,9$ (m).

Vậy tòa nhà cao $18,9{\rm{ m}}$.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ ta có:

${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2a.b.\cos C$$\Rightarrow 81 = 25 + {b^2} - 2.5.b.\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)$$\Leftrightarrow {b^2} - b - 56 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 7\\b =  - 8\end{array} \right.$

Ta nhận được $b = 7({\rm{cm}})$

Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$$= \sqrt {\dfrac{{21}}{2}\left( {\dfrac{{21}}{2} - 5} \right)\left( {\dfrac{{21}}{2} - 7} \right)\left( {\dfrac{{21}}{2} - 9} \right)}$$= \dfrac{{21\sqrt {11} }}{4}({\rm{c}}{{\rm{m}}^2})$

Độ dài đường cao ${h_a} = \dfrac{{2S}}{a}$$= \dfrac{{\dfrac{{21\sqrt {11} }}{2}}}{5}$$= \dfrac{{21\sqrt {11} }}{{10}}({\rm{cm}})$

Gọi $\widehat {MOA} = \alpha  \Rightarrow \widehat {MOB} = 180^\circ  - \alpha$.

Ta có $MA = \sqrt {M{O^2} + A{O^2} - 2MO.AO.\cos \alpha }  = \sqrt {9{R^2} + {R^2} - 6{R^2}\cos \alpha }  = R\sqrt {10 - 6\cos \alpha }$.

$MB = \sqrt {M{O^2} + B{O^2} - 2MO.BO.\cos \left( {180^\circ  - \alpha } \right)}  = \sqrt {9{R^2} + {R^2} + 6{R^2}\cos \alpha }  = R\sqrt {10 + 6\cos \alpha }$.

Xét $C = \sqrt {10 - 6\cos \alpha }  + \sqrt {10 + 6\cos \alpha }$ $\Rightarrow {C^2} = 20 + 2\sqrt {100 - 36{{\cos }^2}\alpha }  \ge 20 + 2\sqrt {100 - 36}  = 36$.

Suy ra $C \ge 6$. Dấu  xẩy ra khi ${\cos ^2}\alpha  = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha  = 1\\\cos \alpha  =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha  = 0^\circ \\\alpha  = 180^\circ \end{array} \right.$.

Ta có $S = MA + MB = R\left( {\sqrt {10 - 6\cos \alpha }  + \sqrt {10 + 6\cos \alpha } } \right) \ge 6R$.

Suy ra $\min S = 6R$ khi và chỉ khỉ $A$, $O$, $B$, $M$ thẳng hàng.

Xét đường tròn bán kính $1$, ta cắt trên đó một hình chữ nhật $ABCD$.

Khi đó ${S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AC.BD.\sin \alpha$$= 2\sin \alpha  \le 2$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\alpha  = 90^\circ$.

Vậy diện tích lớn nhất của miếng tôn cắt trên nửa đường tròn bằng $1$.

Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 0}\\{\overrightarrow x .\overrightarrow y  = 0}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b } \right).\left( {7\overrightarrow a  - 5\overrightarrow b } \right) = 0}\\{\left( {\overrightarrow a  - 4\overrightarrow b } \right).\left( {7\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right) = 0}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} - 15{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} =  - 16\overrightarrow a .\overrightarrow b }\\{7{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + 8{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} = 30\overrightarrow a .\overrightarrow b {\rm{   }}}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} = 2\overrightarrow a .\overrightarrow b }\\{{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} = 2\overrightarrow a .\overrightarrow b }\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} = 2\overrightarrow a .\overrightarrow b }\\{\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|{\rm{    }}}\end{array}} \right.$.

Từ đó, ta có: $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$$= \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}}}$$= \dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 60^\circ$

$\overrightarrow {AM} \overrightarrow {BC}  = \dfrac{{{a^2}}}{2}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \dfrac{{{a^2}}}{2}$ $\Rightarrow A{C^2} - A{B^2} = {a^2}$.

Mặt khác, tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $A{B^2} + A{C^2} = 3{a^2}$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}A{C^2} = 2{a^2}\\A{B^2} = {a^2}\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = a\sqrt 2 \\AB = a\end{array} \right.$.

+ Vì $I$ là trung điểm đoạn $AB$ nên ta có: $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI}$ $\Rightarrow {\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right)^2} = 4{\overrightarrow {MI} ^2}$

$\Rightarrow M{A^2} + 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + M{B^2} = 4M{I^2}$ $\Rightarrow M{A^2} + M{B^2} + 6{a^2} = 4M{I^2}\,\left( 1 \right)$.

+ Theo công thức độ dài đường trung tuyến:

$M{I^2} = \dfrac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4}$ $\Rightarrow M{I^2} = \dfrac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} - {a^2}$ $\Rightarrow 4M{I^2} = 2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) - 4{a^2}\,\left( 2 \right)$

+ Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $M{A^2} + M{B^2} = 10{a^2}$.

Thay vào $\left( 1 \right)$ ta được: $10{a^2} + 6{a^2} = 4M{I^2}$ $\Rightarrow M{I^2} = 4{a^2}$ $\Rightarrow MI = 2a$.

Gọi $N$ là trung điểm đoạn $BC$.

Gọi $I$ là điểm thỏa: $4\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0$ $\Leftrightarrow 4\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IN}  = \overrightarrow 0$ $\Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IN}  = \overrightarrow 0$, nên điểm $I$ thuộc đoạn thẳng $AN$ sao cho $IN = 2IA$.

Khi đó: $IA = \dfrac{1}{3}AN = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$, và $IN = \dfrac{2}{3}AN = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

$I{B^2} = I{C^2} = I{N^2} + B{N^2} = \dfrac{{{a^2}}}{3} + \dfrac{{{a^2}}}{4}$$= \dfrac{{7{a^2}}}{{12}}$.

Ta có: $4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}$$\Leftrightarrow 4{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}$.

$\Leftrightarrow 6M{I^2} + 4I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}$ $\Leftrightarrow 6M{I^2} + 4.\dfrac{{{a^2}}}{{12}} + 2.\dfrac{{7{a^2}}}{{12}} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}$ $\Leftrightarrow MI = \dfrac{a}{{\sqrt 6 }}$.

$M = \cot \alpha  + \dfrac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}$$= \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} + \dfrac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}$ $= \dfrac{{1 + \cos \alpha }}{{\sin \alpha \left( {1 + \cos \alpha } \right)}}$ $= \dfrac{1}{{\sin \alpha }}$ $= \dfrac{{2018}}{{\sqrt {2017}  + 1}}$.

Ta có: $\overrightarrow {IA}  = \left( {a - 1;\,b - 3} \right)\, \Rightarrow I{A^2} = {a^2} + {b^2} - 2a - 6b + 10$.

$\overrightarrow {IB}  = \left( {a + 1;\,b + 1} \right)\, \Rightarrow I{B^2} = {a^2} + {b^2} + 2a + 2b + 2$.

$\overrightarrow {IC}  = \left( {a - 1;\,b - 1} \right)\, \Rightarrow I{C^2} = {a^2} + {b^2} - 2a - 2b + 2$.

Vì $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên:

$\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IC = IB\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{C^2} = I{B^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 2\\a + b = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 2\end{array} \right.$.

Vậy $a + b = 0$.

Gọi $E$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $DC$. Đặt $AB = AD = BC = x$.

Ta có $EC = \dfrac{{DC - x}}{2}$ $\left( 1 \right)$.

Trong tam giác vuông $BDE$ ta có: $\tan \widehat {BDC} = \dfrac{3}{4}$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{{BE}}{{ED}} = \dfrac{3}{4}$ $\Leftrightarrow$ $BE = \dfrac{3}{4}ED$

$\Leftrightarrow$ $BE = \dfrac{3}{4}\left( {DC - \dfrac{{DC - x}}{2}} \right)$$= \dfrac{3}{8}\left( {DC + x} \right)$ $\left( 2 \right)$.

Trong tam giác vuông $BEC$ ta có $B{C^2} = E{C^2} + B{E^2}$ $\left( 3 \right)$.

Thay $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$ vào $\left( 3 \right)$ biến đổi ta được: $39{x^2} + 14DC.\,x - 25D{C^2} = 0$ $\Leftrightarrow$ $x = \dfrac{{25}}{{39}}DC$ hay $DC = \dfrac{{39}}{{25}}x$. Khi đó $EC = \dfrac{7}{{25}}x$.

Mặt khác: $\cos \widehat {BAD}$$=  - \cos \widehat {BCE}$$=  - \dfrac{{EC}}{{BC}} =  - \dfrac{7}{{25}}$

Ta có $5\left( {\overrightarrow b  - \overrightarrow a } \right) + 3\overrightarrow c  = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow 5\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) = 3\overrightarrow c$$\Leftrightarrow 25{\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)^2} = 9{\overrightarrow c ^2}$

$\Leftrightarrow 25\left( {{{\overrightarrow a }^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b  + {{\overrightarrow b }^2}} \right) = 9{\overrightarrow c ^2}$$\Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 4$.

Tương tự: $5\left( {\overrightarrow b  - \overrightarrow a } \right) + 3\overrightarrow c  = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow 5\overrightarrow a  = 5\overrightarrow b  + 3\overrightarrow c$$\Leftrightarrow \overrightarrow b .\overrightarrow c  = 5$.

$5\left( {\overrightarrow b  - \overrightarrow a } \right) + 3\overrightarrow c  = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow 5\overrightarrow b  = 5\overrightarrow a  - 3\overrightarrow c$$\Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow c  = 20$.

Vậy $M = 4 + 5 + 20 = 29$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Khi đó: $D\left( {0;0} \right),C\left( {1;0} \right),A\left( {0;1} \right);B\left( {1;1} \right),M\left( {x;1} \right);N\left( {0;y} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {CM}  = \left( {x - 1;1} \right)$; $\overrightarrow {BN}  = \left( { - 1;y - 1} \right)$

Do đó: $CM \bot BN \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {BN}  = 0 \Leftrightarrow x - y = 0$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}m_a^2 = \dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\\a > \left| {b - c} \right|\end{array} \right.$

Suy ra $m_a^2 < \dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {{\left( {b - c} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{b^2} + {c^2} + 2bc}}{4} = \dfrac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{4}$

Hay ${m_a} < \dfrac{{b + c}}{2}$.

Dễ thấy $\dfrac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta ABM}}}} = 4$ $\Leftrightarrow \dfrac{{BC}}{{BM}} = 4$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC}  = 4\overrightarrow {BM} \\\overrightarrow {BC}  =  - 4\overrightarrow {BM} \end{array} \right.$.

TH1: $\overrightarrow {BC}  = 4\overrightarrow {BM}$ thì: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 =  - \dfrac{3}{4}\\y - 1 =  - \dfrac{3}{4}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{4}\\y = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$ $\Rightarrow x.y = \dfrac{5}{{16}}$.

TH2: $\overrightarrow {BC}  =  - 4\overrightarrow {BM}$ thì: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = \dfrac{3}{4}\\y - 1 = \dfrac{3}{4}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11}}{4}\\y = \dfrac{7}{4}\end{array} \right.$ $\Rightarrow x.y = \dfrac{{77}}{{16}}$.

Ta có: $\left( {2.1 - 6 - 1} \right).\left( { - 2.3 - 4 - 1} \right) = 55 > 0$ $\Rightarrow P$ và $Q$ cùng phía so với $\Delta$.

Phương trình đường thẳng $PQ$: $5x - 2y + 7 = 0$.

Gọi $H = \Delta  \cap PQ$, tọa độ $H$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 1 = 0\\5x - 2y + 7 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 9\\y =  - 19\end{array} \right.$.

Hay $H\left( { - 9; - 19} \right)$.

Với mọi điểm $N \in \Delta$ thì: $\left| {NP - NQ} \right|$$\le \left| {HP - HQ} \right| = \left| {PQ} \right|$$\Rightarrow {\left| {NP - NQ} \right|_{\max }} = \left| {PQ} \right|$.

Dấu bằng xảy ra khi $N$ trùng $H$.

Gọi $M\left( {a;\;a + 1} \right)$ là trung điểm $AB$.

Ta có $\overrightarrow {IM}  = \left( {a - 2;\;a} \right)$, $1$ VTCP của $AB$ là $\overrightarrow {{u_{AB}}}  = \left( {1;\;1} \right)$.

Mà $\overrightarrow {IM}  \bot \overrightarrow {{u_{AB}}}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {IM} .\overrightarrow {{u_{AB}}}  = 0$$\Leftrightarrow a - 2 + a = 0$ $\Leftrightarrow a = 1$. Vậy $M\left( {1;\;2} \right)$.

Nhận xét $\overrightarrow {CG}  = 2\overrightarrow {GM}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{7}{3} - {x_0} = 2\left( {1 - \dfrac{7}{3}} \right)\\\dfrac{4}{3} - {y_0} = 2\left( {2 - \dfrac{4}{3}} \right)\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 5\\{y_0} = 0\end{array} \right.$.

Vậy $2{x_0} + {y_0} = 10$.