Câu hỏi:
2 năm trước
Đoạn thẳng $AB$ có độ dài $2a$, $I$ là trung điểm \(AB\). Khi \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 3{a^2}\). Độ dài $MI$ là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
+ Vì \(I\) là trung điểm đoạn \(AB\) nên ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \) \( \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right)^2} = 4{\overrightarrow {MI} ^2}\)
\( \Rightarrow M{A^2} + 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + M{B^2} = 4M{I^2}\) \( \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} + 6{a^2} = 4M{I^2}\,\left( 1 \right)\).
+ Theo công thức độ dài đường trung tuyến:
\(M{I^2} = \dfrac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4}\) \( \Rightarrow M{I^2} = \dfrac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} - {a^2}\) \( \Rightarrow 4M{I^2} = 2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) - 4{a^2}\,\left( 2 \right)\)
+ Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(M{A^2} + M{B^2} = 10{a^2}\).
Thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \(10{a^2} + 6{a^2} = 4M{I^2}\) \( \Rightarrow M{I^2} = 4{a^2}\) \( \Rightarrow MI = 2a\).
Hướng dẫn giải:
Công thức trung tuyến \(m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\)
Câu hỏi khác
- Bài tập giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 độ toán 10 có lời giải
- Bài tập hệ thức lượng trong tam giác toán 10 có lời giải
- Bài tập tích vô hướng của hai véc tơ toán 10 có lời giải
- Bài tập biểu thức tọa độ của tích vô hướng toán 10 có lời giải
- Bài tập tổng hợp câu hay và khó chương tích vô hướng của hai véc tơ toán 10 có lời giải
