Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $18\,{\rm{cm}}$. Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| {2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  + 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right|$ là

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Khi đó tỉ số $\dfrac{R}{r}$ bằng

Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận người ta lấy hai điểm $A$ và $B$ trên mặt đất có khoảng cách $AB = 12\,{\rm{m}}$ cùng thẳng hàng với chân $C$ của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao $h = 1,3\,{\rm{m}}$. Gọi $D$ là đỉnh tháp và hai điểm ${A_1}$, ${B_1}$ cùng thẳng hàng với ${C_1}$ thuộc chiều cao $CD$ của tháp. Người ta đo được góc $\widehat {D{A_1}{C_1}} = 49^\circ$ và $\widehat {D{B_1}{C_1}} = 35^\circ$. Tính chiều cao $CD$ của tháp.

Trên nóc một tòa nhà có cột ăng-ten cao $5\,{\rm{m}}$. Từ vị trí quan sát $A$ cao $7\,{\rm{m}}$ so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh $B$ và chân $C$ của cột ăng-ten dưới góc $50^\circ$ và $40^\circ$ so với phương nằm ngang (như hình vẽ bên). Chiều cao của tòa nhà (được làm tròn đến hàng phần mười) là:

Cho tam giác $ABC$ có $a = 5$ ${\rm{cm}}$, $c = 9$ ${\rm{cm}}$, $\cos C =  - \dfrac{1}{{10}}$. Tính độ dài đường cao ${h_a}$ hạ từ $A$ của tam giác $ABC$.

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và điểm $M$ thỏa mãn $MO = 3R$. Một đường kính $AB$ thay đổi trên đường tròn. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = MA + MB$.

Từ một miếng tôn có hình dạng là nửa đường tròn bán kính $1\;{\rm{m}}$, người ta cắt ra một hình chữ nhật. Hỏi có thể cắt được miếng tôn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?