Cho hai điểm \(P\left( {1;6} \right)\) và \(Q\left( { - 3; - 4} \right)\) và đường thẳng \(\Delta \): \(2x - y - 1 = 0\). Tọa độ điểm \(N\) thuộc \(\Delta \) sao cho \(\left| {NP - NQ} \right|\) lớn nhất.
Trả lời bởi giáo viên
Ta có: $\left( {2.1 - 6 - 1} \right).\left( { - 2.3 - 4 - 1} \right) = 55 > 0$ \( \Rightarrow P\) và \(Q\) cùng phía so với \(\Delta \).
Phương trình đường thẳng \(PQ\): \(5x - 2y + 7 = 0\).
Gọi $H = \Delta \cap PQ$, tọa độ \(H\) là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 1 = 0\\5x - 2y + 7 = 0\end{array} \right.$ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 9\\y = - 19\end{array} \right.\).
Hay \(H\left( { - 9; - 19} \right)\).
Với mọi điểm \(N \in \Delta \) thì: \(\left| {NP - NQ} \right|\)\( \le \left| {HP - HQ} \right| = \left| {PQ} \right|\)\( \Rightarrow {\left| {NP - NQ} \right|_{\max }} = \left| {PQ} \right|\).
Dấu bằng xảy ra khi \(N\) trùng \(H\).
Hướng dẫn giải:
Đánh giá GTLN của biểu thức \(\left| {NP - NQ} \right|\), từ đó suy ra vị trí điểm \(N\).