Cho ba véc-tơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \), \(\overrightarrow c \) thỏa mãn: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 4\), \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow c } \right| = 5\) và \(5\left( {\overrightarrow b - \overrightarrow a } \right) + 3\overrightarrow c = \overrightarrow 0 \). Khi đó biểu thức \(M = \overrightarrow {a\,} .\overrightarrow {b\,} + \overrightarrow {b\,} .\overrightarrow {c\,} + \overrightarrow {c\,} .\overrightarrow {a\,} \) có giá trị là
Trả lời bởi giáo viên
Ta có $5\left( {\overrightarrow b - \overrightarrow a } \right) + 3\overrightarrow c = \overrightarrow 0 $\( \Leftrightarrow 5\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = 3\overrightarrow c \)\( \Leftrightarrow 25{\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = 9{\overrightarrow c ^2}\)
\( \Leftrightarrow 25\left( {{{\overrightarrow a }^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b + {{\overrightarrow b }^2}} \right) = 9{\overrightarrow c ^2}\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 4\).
Tương tự: \(5\left( {\overrightarrow b - \overrightarrow a } \right) + 3\overrightarrow c = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow 5\overrightarrow a = 5\overrightarrow b + 3\overrightarrow c \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow b .\overrightarrow c = 5\).
\(5\left( {\overrightarrow b - \overrightarrow a } \right) + 3\overrightarrow c = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow 5\overrightarrow b = 5\overrightarrow a - 3\overrightarrow c \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow c = 20\).
Vậy \(M = 4 + 5 + 20 = 29\).
Hướng dẫn giải:
- Từ đẳng thức bài cho, chuyển vế thích hợp rồi bình phương hai vế.
- Từ đó suy ra giá trị các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b ,\overrightarrow b .\overrightarrow c ,\overrightarrow c .\overrightarrow a \) và tính \(M\).