Tổng hợp câu hay và khó chương 8

Ta có phương trình đường thẳng $d$ có dạng: $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$ (theo giả thiết ta có $a > 0,{\mkern 1mu} b > 0$)

Do $d$ đi qua $M\left( {4;{\rm{ 1}}} \right)$ nên ta có $\dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} = 1$

Mặt khác diện tích của tam giác vuông $ABO$ là ${S_{ABO}} = \dfrac{1}{2}ab$

Áp dụng BĐT Cô si ta có $1 = \dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{4}{a}.\dfrac{1}{b}}  = \dfrac{4}{{\sqrt {ab} }}$ $\Leftrightarrow \sqrt {ab}  \ge 4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}ab \ge 8$

Vậy diện tích của tam giác vuông $ABO$ nhỏ nhất bằng $8$ khi $a$, $b$ thỏa mãn hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{a} = \dfrac{1}{b}\\\dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 2\end{array} \right.$ $\Rightarrow a - 4b = 8 - 4.2 = 0$.

Kẻ đường kính $AD$ của đường tròn $\left( I \right)$ khi đó ta có $BHCD$ là hình bình hành

$\Rightarrow$ $M$ là trung điểm của cạnh $HD$.

Xét tam giác $AHD$ có $IM$ là đường trung bình $\Rightarrow IM = \dfrac{1}{2}AH$ $\Rightarrow \overrightarrow {IM}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AH}$.

Gọi $I\left( {x;y} \right)$ ta có $\overrightarrow {IM}  = \left( {4 - x;3 - y} \right)$; $\overrightarrow {AH}  = \left( { - 2; - 14} \right)$ $\Rightarrow I\left( {5;10} \right)$.

Bán kính $R = IA = \sqrt {{{\left( {5 + 1} \right)}^2} + {{\left( {10 - 2} \right)}^2}}  = 10$

Kẻ đường kính $AD$ của đường tròn $\left( I \right)$ khi đó ta có $BHCD$ là hình bình hành

$\Rightarrow$ $M$ là trung điểm của cạnh $HD$.

Xét tam giác $AHD$ có $IM$ là đường trung bình $\Rightarrow IM = \dfrac{1}{2}AH$ $\Rightarrow \overrightarrow {IM}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AH}$.

Gọi $I\left( {x;y} \right)$ ta có $\overrightarrow {IM}  = \left( {4 - x;3 - y} \right)$; $\overrightarrow {AH}  = \left( { - 2; - 14} \right)$ $\Rightarrow I\left( {5;10} \right)$.

Bán kính $R = IA = \sqrt {{{\left( {5 + 1} \right)}^2} + {{\left( {10 - 2} \right)}^2}}  = 10$

Gọi $M$, $N$ và $P$ lần lượt là các trung điểm của $AB$, $CD$ và $BI$. Ta có

$\overrightarrow {AK}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AP}$ $= \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AI} } \right)$ $= \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AD}$

$\overrightarrow {AG}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AN}$ $= \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC} } \right)$ $= \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AD}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}$

$\overrightarrow {KG}  = \overrightarrow {AG}  - \overrightarrow {AK}$ $= \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD}  - \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AB}$.

Suy ra: $\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {KG}  = \dfrac{1}{{12}}A{D^2} - \dfrac{1}{{12}}A{B^2} = 0$ vì $AB = AD$ và $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0$

Đồng thời

$A{K^2} = \dfrac{5}{{18}}A{B^2}$$= K{G^2} = \dfrac{5}{{18}}A{B^2}$. Do đó tam giác $AKG$ vuông cân tại $K$ nên:

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {KG}  = 0\\A{K^2} = G{K^2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 9\\{\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = 13\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{9 - 2a}}{3}\\13{a^2} - 78a = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{9 - 2a}}{3}\\\left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 6\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 3\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b =  - 1\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Rightarrow {a^2} + {b^2} = 9$.

Gọi $I\left( {a;b} \right)$ là điểm thỏa mãn: $3\overrightarrow {IA}  - 2\overrightarrow {IB}  + 4\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0$

ta có: $3\overrightarrow {IA}  - 2\overrightarrow {IB}  + 4\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0$ $\Leftrightarrow 5\overrightarrow {IA}  = 2\overrightarrow {AB}  - 4\overrightarrow {AC}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{9}{5}\\b =  - 6\end{array} \right.$ $\Rightarrow I\left( { - \dfrac{9}{5}; - 6} \right)$

Khi đó $\left| {3\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB}  + 4\overrightarrow {MC} } \right|$ $= \left| {3\overrightarrow {IA}  - 2\overrightarrow {IB}  + 4\overrightarrow {IC}  - 5\overrightarrow {IM} } \right|$ $= \left| {\overrightarrow 0  - 5\overrightarrow {IM} } \right|$ $= 5IM$

Do đó: $\left| {3\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB}  + 4\overrightarrow {MC} } \right|$ nhỏ nhất khi $IM$ ngắn nhất. Suy ra $M$ là hình chiếu vuông góc của $I\left( { - \dfrac{9}{5}; - 6} \right)$ trên $Oy$ $\Rightarrow M\left( {0; - 6} \right)$.

Gọi $M\left( {2m + 5;m} \right) \in \Delta$.

$G\left( { - 1;2} \right)$ là trọng tâm $\Delta ABC$.

$\left| {\overrightarrow {MA\,}  + \overrightarrow {MB\,}  + \overrightarrow {MC\,} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 3MG$.

$\left| {\overrightarrow {MA\,}  + \overrightarrow {MB\,}  + \overrightarrow {MC\,} } \right|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MG$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow G$ là hình chiếu vuông góc của $G$ trên $\Delta$.

$\overrightarrow {GM}  = \left( {2m + 6;m - 2} \right)$; VTCP của $\Delta$ là $\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)$.

$G$ là hình chiếu vuông góc của $G$ trên $\Delta$$\Leftrightarrow \overrightarrow {GM} .\overrightarrow u  = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2m + 6} \right) + m - 2 = 0 \Leftrightarrow 5m + 10 = 0 \Leftrightarrow m =  - 2 \Rightarrow M\left( {1; - 2} \right)$.

Đường thẳng $d$ qua gốc tọa độ $d:y = ax$.

$M\left( {1; - 2} \right) \in d \Rightarrow a =  - 2$.

Vậy phương trình đường thẳng $d:2x + y = 0$

Cách 1: Gọi $A\left( {a;b} \right)$. Vì $A \in AC:x + 2y + 2 = 0$ nên $a + 2b + 2 = 0 \Rightarrow a =  - 2b - 2$

Do $a > 0$ nên $- 2b - 2 > 0 \Rightarrow b <  - 1$$\,\left( * \right)$

Khi đó $A\left( { - 2b - 2;b} \right)$. 

Ta có   $\overrightarrow {AD}  = \left( {2b + 3;1 - b} \right)$ là véctơ chỉ phương của đường thẳng $AD$.

            $\vec u = \left( {2; - 1} \right)$ là véctơ chỉ phương của đường thẳng $AC$.

Trên hình vẽ, $\tan \alpha  = \dfrac{{DC}}{{AD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$$\left( 1 \right)$

Lại có $\cos \alpha  = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AD} .\vec u} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\left| {.\vec u} \right|}} = \dfrac{{5\left| {b + 1} \right|}}{{\sqrt 5 \sqrt {{b^2} + 2b + 2} }}$$\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\dfrac{{5\left| {b + 1} \right|}}{{\sqrt 5 \sqrt {{b^2} + 2b + 2} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow {b^2} + 2b - 3 = 0 \Rightarrow b =  - 3$ (do $\left( * \right)$) $\Rightarrow a = 4$.

Khi đó $A\left( {4; - 3} \right)$, suy ra $a + b = 1$. 

Cách 2: Gọi $A\left( {a;b} \right)$. Vì $A \in AC:x + 2y + 2 = 0$ nên $a + 2b + 2 = 0 \Rightarrow a =  - 2b - 2$

Do $a > 0$ nên $- 2b - 2 > 0 \Rightarrow b <  - 1$$\,\left( * \right)$, khi đó $A\left( { - 2b - 2;b} \right)$. 

Vì $C \in AC:x + 2y + 2 = 0$ nên $C\left( { - 2c - 2;c} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {AD}  = \left( {3 + 2b; - 1 - b} \right)$; $\overrightarrow {CD}  = \left( {3 + 2c;1 - c} \right)$. 

Chọn $\left\{ \begin{array}{l}\vec u \bot \overrightarrow {CD} \\\left| {\vec u} \right| = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\end{array} \right. \Rightarrow \vec u = \left( {c - 1;3 + 2c} \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AD \bot CD\\AB = 2CD\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {AD}  = 2\vec u\\\overrightarrow {AD}  =  - 2\vec u\end{array} \right.$

-  Với $\overrightarrow {AD}  = 2\vec u$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2b = 2c - 2\\1 - b = 6 + 4c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 3\\c =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$  (t/m)

-  Với $\overrightarrow {AD}  =  - 2\vec u$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2b =  - 2c + 2\\1 - b =  - 6 - 4c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\c =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$  (không t/m)

Vậy $A\left( {4; - 3} \right)$, suy ra $a + b = 1$.

Cách 1: Gọi $A\left( {a;b} \right)$. Vì $A \in AC:x + 2y + 2 = 0$ nên $a + 2b + 2 = 0 \Rightarrow a =  - 2b - 2$

Do $a > 0$ nên $- 2b - 2 > 0 \Rightarrow b <  - 1$$\,\left( * \right)$

Khi đó $A\left( { - 2b - 2;b} \right)$. 

Ta có   $\overrightarrow {AD}  = \left( {2b + 3;1 - b} \right)$ là véctơ chỉ phương của đường thẳng $AD$.

            $\vec u = \left( {2; - 1} \right)$ là véctơ chỉ phương của đường thẳng $AC$.

Trên hình vẽ, $\tan \alpha  = \dfrac{{DC}}{{AD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$$\left( 1 \right)$

Lại có $\cos \alpha  = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AD} .\vec u} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\left| {.\vec u} \right|}} = \dfrac{{5\left| {b + 1} \right|}}{{\sqrt 5 \sqrt {{b^2} + 2b + 2} }}$$\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\dfrac{{5\left| {b + 1} \right|}}{{\sqrt 5 \sqrt {{b^2} + 2b + 2} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow {b^2} + 2b - 3 = 0 \Rightarrow b =  - 3$ (do $\left( * \right)$) $\Rightarrow a = 4$.

Khi đó $A\left( {4; - 3} \right)$, suy ra $a + b = 1$. 

Cách 2: Gọi $A\left( {a;b} \right)$. Vì $A \in AC:x + 2y + 2 = 0$ nên $a + 2b + 2 = 0 \Rightarrow a =  - 2b - 2$

Do $a > 0$ nên $- 2b - 2 > 0 \Rightarrow b <  - 1$$\,\left( * \right)$, khi đó $A\left( { - 2b - 2;b} \right)$. 

Vì $C \in AC:x + 2y + 2 = 0$ nên $C\left( { - 2c - 2;c} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {AD}  = \left( {3 + 2b; - 1 - b} \right)$; $\overrightarrow {CD}  = \left( {3 + 2c;1 - c} \right)$. 

Chọn $\left\{ \begin{array}{l}\vec u \bot \overrightarrow {CD} \\\left| {\vec u} \right| = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\end{array} \right. \Rightarrow \vec u = \left( {c - 1;3 + 2c} \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AD \bot CD\\AB = 2CD\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {AD}  = 2\vec u\\\overrightarrow {AD}  =  - 2\vec u\end{array} \right.$

-  Với $\overrightarrow {AD}  = 2\vec u$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2b = 2c - 2\\1 - b = 6 + 4c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 3\\c =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$  (t/m)

-  Với $\overrightarrow {AD}  =  - 2\vec u$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2b =  - 2c + 2\\1 - b =  - 6 - 4c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\c =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$  (không t/m)

Vậy $A\left( {4; - 3} \right)$, suy ra $a + b = 1$.