Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {4;{\rm{ 1}}} \right)\), đường thẳng \(d\) qua \(M\), \(d\) cắt tia \(Ox\), \(Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;{\rm{ 0}}} \right)\), \(B\left( {0;{\rm{ }}b} \right)\) sao cho tam giác \(ABO\) (\(O\) là gốc tọa độ) có diện tích nhỏ nhất. Giá trị \(a - 4b\) bằng
Ta có phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\) (theo giả thiết ta có \(a > 0,{\mkern 1mu} b > 0\))
Do \(d\) đi qua \(M\left( {4;{\rm{ 1}}} \right)\) nên ta có \(\dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} = 1\)
Mặt khác diện tích của tam giác vuông \(ABO\) là \({S_{ABO}} = \dfrac{1}{2}ab\)
Áp dụng BĐT Cô si ta có \(1 = \dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{4}{a}.\dfrac{1}{b}} = \dfrac{4}{{\sqrt {ab} }}\) \( \Leftrightarrow \sqrt {ab} \ge 4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}ab \ge 8\)
Vậy diện tích của tam giác vuông \(ABO\) nhỏ nhất bằng \(8\) khi $a$, $b$ thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{a} = \dfrac{1}{b}\\\dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow a - 4b = 8 - 4.2 = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tam giác $ABC$ có đỉnh \(A\left( { - 1;2} \right)\), trực tâm \(H\left( { - 3; - 12} \right)\), trung điểm của cạnh $BC$ là \(M\left( {4;3} \right)\). Gọi $I$, $R$ lần lượt là tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( I \right)\) khi đó ta có \(BHCD\) là hình bình hành
\( \Rightarrow \) \(M\) là trung điểm của cạnh \(HD\).
Xét tam giác \(AHD\) có \(IM\) là đường trung bình \( \Rightarrow IM = \dfrac{1}{2}AH\) \( \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AH} \).
Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) ta có \(\overrightarrow {IM} = \left( {4 - x;3 - y} \right)\); \(\overrightarrow {AH} = \left( { - 2; - 14} \right)\) \( \Rightarrow I\left( {5;10} \right)\).
Bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( {5 + 1} \right)}^2} + {{\left( {10 - 2} \right)}^2}} = 10\)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tam giác $ABC$ có đỉnh \(A\left( { - 1;2} \right)\), trực tâm \(H\left( { - 3; - 12} \right)\), trung điểm của cạnh $BC$ là \(M\left( {4;3} \right)\). Gọi $I$, $R$ lần lượt là tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( I \right)\) khi đó ta có \(BHCD\) là hình bình hành
\( \Rightarrow \) \(M\) là trung điểm của cạnh \(HD\).
Xét tam giác \(AHD\) có \(IM\) là đường trung bình \( \Rightarrow IM = \dfrac{1}{2}AH\) \( \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AH} \).
Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) ta có \(\overrightarrow {IM} = \left( {4 - x;3 - y} \right)\); \(\overrightarrow {AH} = \left( { - 2; - 14} \right)\) \( \Rightarrow I\left( {5;10} \right)\).
Bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( {5 + 1} \right)}^2} + {{\left( {10 - 2} \right)}^2}} = 10\)
Trong mặt phẳng với hệ trục $Oxy$, cho hình vuông \(ABCD\) có tâm là điểm \(I\). Gọi \(G\left( {1; - 2} \right)\) và \(K\left( {3;1} \right)\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ACD\) và $ABI$. Biết $A\left( {a;b} \right)$ với \(b > 0\). Khi đó \({a^2} + {b^2}\) bằng
Gọi $M$, $N$ và $P$ lần lượt là các trung điểm của $AB$, $CD$ và $BI$. Ta có
\(\overrightarrow {AK} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AP} \) \( = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} } \right)\) \( = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AD} \)
\(\overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AN} \) \( = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} } \right)\) \( = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)
\(\overrightarrow {KG} = \overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AK} \) \( = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AB} \).
Suy ra: \(\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {KG} = \dfrac{1}{{12}}A{D^2} - \dfrac{1}{{12}}A{B^2} = 0\) vì \(AB = AD\) và \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\)
Đồng thời
\(A{K^2} = \dfrac{5}{{18}}A{B^2}\)\( = K{G^2} = \dfrac{5}{{18}}A{B^2}\). Do đó tam giác \(AKG\) vuông cân tại \(K\) nên:
\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {KG} = 0\\A{K^2} = G{K^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 9\\{\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = 13\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{9 - 2a}}{3}\\13{a^2} - 78a = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{9 - 2a}}{3}\\\left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 6\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 3\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = - 1\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 9\).
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm \(A\left( {1;0} \right)\), \(B\left( {0;5} \right)\) và \(C\left( { - 3; - 5} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc trục \(Oy\) sao cho \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất?
Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là điểm thỏa mãn: \(3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)
ta có: \(3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow 5\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {AB} - 4\overrightarrow {AC}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{9}{5}\\b = - 6\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( { - \dfrac{9}{5}; - 6} \right)\)
Khi đó \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right|\) \( = \left| {3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} - 5\overrightarrow {IM} } \right|\) \( = \left| {\overrightarrow 0 - 5\overrightarrow {IM} } \right|\) \( = 5IM\)
Do đó: \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất khi \(IM\) ngắn nhất. Suy ra \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\left( { - \dfrac{9}{5}; - 6} \right)\) trên \(Oy\) \( \Rightarrow M\left( {0; - 6} \right)\).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(\Delta :\,x - 2y - 5 = 0\) và các điểm \(A\left( {1;\,2} \right)\), \(B\left( { - 2;\,3} \right)\), \(C\left( { - 2;\,1} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\), biết đường thẳng \(d\) đi qua gốc tọa độ và cắt đường thẳng \(\Delta \) tại điểm \(M\) sao cho: \(\left| {\overrightarrow {MA\,} + \overrightarrow {MB\,} + \overrightarrow {MC\,} } \right|\) nhỏ nhất.
Gọi \(M\left( {2m + 5;m} \right) \in \Delta \).
\(G\left( { - 1;2} \right)\) là trọng tâm \(\Delta ABC\).
$\left| {\overrightarrow {MA\,} + \overrightarrow {MB\,} + \overrightarrow {MC\,} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 3MG$.
\(\left| {\overrightarrow {MA\,} + \overrightarrow {MB\,} + \overrightarrow {MC\,} } \right|\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MG\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow G\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) trên \(\Delta \).
\(\overrightarrow {GM} = \left( {2m + 6;m - 2} \right)\); VTCP của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)\).
\(G\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) trên \(\Delta \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GM} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2m + 6} \right) + m - 2 = 0 \Leftrightarrow 5m + 10 = 0 \Leftrightarrow m = - 2 \Rightarrow M\left( {1; - 2} \right)\).
Đường thẳng \(d\) qua gốc tọa độ \(d:y = ax\).
\(M\left( {1; - 2} \right) \in d \Rightarrow a = - 2\).
Vậy phương trình đường thẳng \(d:2x + y = 0\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho hình chữ nhật \(ABCD\) biết \(AD = 2AB\), đường thẳng \(AC\) có phương trình \(x + 2y + 2 = 0\), \(D\left( {1;\,1} \right)\) và \(A\left( {a;\,b} \right)\,\,\,\,\,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R},\,a > 0} \right)\). Tính \(a + b\).
Cách 1: Gọi \(A\left( {a;b} \right)\). Vì \(A \in AC:x + 2y + 2 = 0\) nên \(a + 2b + 2 = 0 \Rightarrow a = - 2b - 2\)
Do \(a > 0\) nên \( - 2b - 2 > 0 \Rightarrow b < - 1\)\(\,\left( * \right)\)
Khi đó \(A\left( { - 2b - 2;b} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AD} = \left( {2b + 3;1 - b} \right)\) là véctơ chỉ phương của đường thẳng \(AD\).
\(\vec u = \left( {2; - 1} \right)\) là véctơ chỉ phương của đường thẳng \(AC\).
Trên hình vẽ, \(\tan \alpha = \dfrac{{DC}}{{AD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\)\(\left( 1 \right)\)
Lại có \(\cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AD} .\vec u} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\left| {.\vec u} \right|}} = \dfrac{{5\left| {b + 1} \right|}}{{\sqrt 5 \sqrt {{b^2} + 2b + 2} }}\)\(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\dfrac{{5\left| {b + 1} \right|}}{{\sqrt 5 \sqrt {{b^2} + 2b + 2} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow {b^2} + 2b - 3 = 0 \Rightarrow b = - 3\) (do \(\left( * \right)\)) \( \Rightarrow a = 4\).
Khi đó \(A\left( {4; - 3} \right)\), suy ra \(a + b = 1\).
Cách 2: Gọi \(A\left( {a;b} \right)\). Vì \(A \in AC:x + 2y + 2 = 0\) nên \(a + 2b + 2 = 0 \Rightarrow a = - 2b - 2\)
Do \(a > 0\) nên \( - 2b - 2 > 0 \Rightarrow b < - 1\)\(\,\left( * \right)\), khi đó \(A\left( { - 2b - 2;b} \right)\).
Vì \(C \in AC:x + 2y + 2 = 0\) nên \(C\left( { - 2c - 2;c} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AD} = \left( {3 + 2b; - 1 - b} \right)\); \(\overrightarrow {CD} = \left( {3 + 2c;1 - c} \right)\).
Chọn \(\left\{ \begin{array}{l}\vec u \bot \overrightarrow {CD} \\\left| {\vec u} \right| = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\end{array} \right. \Rightarrow \vec u = \left( {c - 1;3 + 2c} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot CD\\AB = 2CD\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {AD} = 2\vec u\\\overrightarrow {AD} = - 2\vec u\end{array} \right.\)
- Với \(\overrightarrow {AD} = 2\vec u\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2b = 2c - 2\\1 - b = 6 + 4c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 3\\c = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) (t/m)
- Với \(\overrightarrow {AD} = - 2\vec u\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2b = - 2c + 2\\1 - b = - 6 - 4c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\c = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\) (không t/m)
Vậy \(A\left( {4; - 3} \right)\), suy ra \(a + b = 1\).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho hình chữ nhật \(ABCD\) biết \(AD = 2AB\), đường thẳng \(AC\) có phương trình \(x + 2y + 2 = 0\), \(D\left( {1;\,1} \right)\) và \(A\left( {a;\,b} \right)\,\,\,\,\,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R},\,a > 0} \right)\). Tính \(a + b\).
Cách 1: Gọi \(A\left( {a;b} \right)\). Vì \(A \in AC:x + 2y + 2 = 0\) nên \(a + 2b + 2 = 0 \Rightarrow a = - 2b - 2\)
Do \(a > 0\) nên \( - 2b - 2 > 0 \Rightarrow b < - 1\)\(\,\left( * \right)\)
Khi đó \(A\left( { - 2b - 2;b} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AD} = \left( {2b + 3;1 - b} \right)\) là véctơ chỉ phương của đường thẳng \(AD\).
\(\vec u = \left( {2; - 1} \right)\) là véctơ chỉ phương của đường thẳng \(AC\).
Trên hình vẽ, \(\tan \alpha = \dfrac{{DC}}{{AD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\)\(\left( 1 \right)\)
Lại có \(\cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AD} .\vec u} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\left| {.\vec u} \right|}} = \dfrac{{5\left| {b + 1} \right|}}{{\sqrt 5 \sqrt {{b^2} + 2b + 2} }}\)\(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\dfrac{{5\left| {b + 1} \right|}}{{\sqrt 5 \sqrt {{b^2} + 2b + 2} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow {b^2} + 2b - 3 = 0 \Rightarrow b = - 3\) (do \(\left( * \right)\)) \( \Rightarrow a = 4\).
Khi đó \(A\left( {4; - 3} \right)\), suy ra \(a + b = 1\).
Cách 2: Gọi \(A\left( {a;b} \right)\). Vì \(A \in AC:x + 2y + 2 = 0\) nên \(a + 2b + 2 = 0 \Rightarrow a = - 2b - 2\)
Do \(a > 0\) nên \( - 2b - 2 > 0 \Rightarrow b < - 1\)\(\,\left( * \right)\), khi đó \(A\left( { - 2b - 2;b} \right)\).
Vì \(C \in AC:x + 2y + 2 = 0\) nên \(C\left( { - 2c - 2;c} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AD} = \left( {3 + 2b; - 1 - b} \right)\); \(\overrightarrow {CD} = \left( {3 + 2c;1 - c} \right)\).
Chọn \(\left\{ \begin{array}{l}\vec u \bot \overrightarrow {CD} \\\left| {\vec u} \right| = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\end{array} \right. \Rightarrow \vec u = \left( {c - 1;3 + 2c} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot CD\\AB = 2CD\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {AD} = 2\vec u\\\overrightarrow {AD} = - 2\vec u\end{array} \right.\)
- Với \(\overrightarrow {AD} = 2\vec u\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2b = 2c - 2\\1 - b = 6 + 4c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 3\\c = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) (t/m)
- Với \(\overrightarrow {AD} = - 2\vec u\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2b = - 2c + 2\\1 - b = - 6 - 4c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\c = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\) (không t/m)
Vậy \(A\left( {4; - 3} \right)\), suy ra \(a + b = 1\).
