Câu hỏi:
2 năm trước

Cho \(\overrightarrow u  = \overrightarrow a  + 3\overrightarrow b \) vuông góc với \(\overrightarrow v  = 7\overrightarrow a  - 5\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow x  = \overrightarrow a  - 4\overrightarrow b \) vuông góc với \(\overrightarrow y  = 7\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b \). Khi đó góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: b

Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 0}\\{\overrightarrow x .\overrightarrow y  = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b } \right).\left( {7\overrightarrow a  - 5\overrightarrow b } \right) = 0}\\{\left( {\overrightarrow a  - 4\overrightarrow b } \right).\left( {7\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right) = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} - 15{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} =  - 16\overrightarrow a .\overrightarrow b }\\{7{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + 8{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} = 30\overrightarrow a .\overrightarrow b {\rm{   }}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} = 2\overrightarrow a .\overrightarrow b }\\{{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} = 2\overrightarrow a .\overrightarrow b }\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} = 2\overrightarrow a .\overrightarrow b }\\{\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|{\rm{    }}}\end{array}} \right.\).

Từ đó, ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)\( = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}}}\)\( = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 60^\circ \)

Hướng dẫn giải:

Lập các hệ thức véc tơ về hai véc tơ vuông góc suy ra mối quan hệ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \), thay vào công thức góc giữa hai véc tơ và tìm số đo góc giữa \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).

Câu hỏi khác