Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(\overrightarrow u = \overrightarrow a + 3\overrightarrow b \) vuông góc với \(\overrightarrow v = 7\overrightarrow a - 5\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow x = \overrightarrow a - 4\overrightarrow b \) vuông góc với \(\overrightarrow y = 7\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \). Khi đó góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0}\\{\overrightarrow x .\overrightarrow y = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\overrightarrow a + 3\overrightarrow b } \right).\left( {7\overrightarrow a - 5\overrightarrow b } \right) = 0}\\{\left( {\overrightarrow a - 4\overrightarrow b } \right).\left( {7\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right) = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} - 15{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} = - 16\overrightarrow a .\overrightarrow b }\\{7{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + 8{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} = 30\overrightarrow a .\overrightarrow b {\rm{ }}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} = 2\overrightarrow a .\overrightarrow b }\\{{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} = 2\overrightarrow a .\overrightarrow b }\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} = 2\overrightarrow a .\overrightarrow b }\\{\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|{\rm{ }}}\end{array}} \right.\).
Từ đó, ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)\( = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}}}\)\( = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 60^\circ \)
Hướng dẫn giải:
Lập các hệ thức véc tơ về hai véc tơ vuông góc suy ra mối quan hệ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \), thay vào công thức góc giữa hai véc tơ và tìm số đo góc giữa \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).
Câu hỏi khác
- Bài tập giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 độ toán 10 có lời giải
- Bài tập hệ thức lượng trong tam giác toán 10 có lời giải
- Bài tập tích vô hướng của hai véc tơ toán 10 có lời giải
- Bài tập biểu thức tọa độ của tích vô hướng toán 10 có lời giải
- Bài tập tổng hợp câu hay và khó chương tích vô hướng của hai véc tơ toán 10 có lời giải
