Các tập hợp số

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 4\\ - 2 < 2m + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\m >  - 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow  - 2 < m < 5$

$A \cap B \ne \emptyset  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < 4\\m - 1 < 2m + 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow  - m < 3 \Leftrightarrow m >  - 3$.

Kết hợp với điều kiện ta có: $- 2 < m < 5$

Ta có ${C_\mathbb{R}}B = \left( { - \infty ;3m - 1} \right) \cup \left( {3m + 3; + \infty } \right)$.

Do đó, để $A \subset {C_\mathbb{R}}B \Leftrightarrow m \le 3m - 1 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}$.

Để $A \cup B = \mathbb{R}$ thì $m \ge 2$.

Để $A \cap B = \emptyset$ thì $\left[ \begin{array}{l}m + 1 < 0\\m \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m \ge 3\end{array} \right.$ hay $m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left[ {3; + \infty } \right)$.

Ta có:   $\left\{ \begin{array}{l}A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\,x < 3} \right\} = \left( { - \infty ;\,3} \right)\\B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\,\,1 < x \le 5} \right\} = \left( {1;\,\,5} \right]\\C = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 2 \le x \le 4} \right\} = \left[ { - 2;\,\,4} \right]\end{array} \right..$

Xét trục số: $A \cap C$

Tương tự với $B \cup C$

Bằng cách biểu diễn trên trục số ta có: $\left\{ \begin{array}{l}A \cap C = \left[ { - 2;3} \right)\\B \cup C = \left[ { - 2;5} \right]\end{array} \right..$

$\Rightarrow \left( {B \cup C} \right)\backslash \left( {A \cap C} \right) = \left[ {3;5} \right].$

Điều kiện: $m \in \mathbb{R}$.

Để $B \subset A$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}m - 7 \ge  - 4\\m \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 3\\m \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3$.

Ta tìm $m$ để $A \cap B = \emptyset .$ Ta có 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1. (Xem hình vẽ 1) Để $A \cap B = \emptyset  \Leftrightarrow m \ge 3.$

Trường hợp 2. (Xem hình vẽ 2) Để $A \cap B = \emptyset  \Leftrightarrow m + 5 \le  - 2 \Leftrightarrow m \le  - 7.$

Kết hợp hai trường hợp ta được $\left[ \begin{array}{l}m \ge 3\\m \le  - 7\end{array} \right.$ thì $A \cap B = \emptyset .$

Suy ra để $A \cap B \ne \emptyset$ thì $- 7 < m < 3.$

Điều kiện: $m \ge  - 3$.

Để $A \cup B = A$ khi và chỉ khi $B \subset A$, tức là $m \le 1$.

Đối chiếu điều kiện, ta được $- 3 \le m \le 1$.

Ta có $\left( {1;{\rm{ }}m} \right] \cap \left( {2;{\rm{ }} + \infty } \right) \ne \emptyset$ khi m nằm bên phải 2:

$\Rightarrow \left( {1;{\rm{ }}m} \right] \cap \left( {2;{\rm{ }} + \infty } \right) \ne \emptyset  \Leftrightarrow m > 2.$

Vẽ trục số: 

- Vẽ khoảng $[-4;3]$

- Gạch bỏ phần ngoài của $[-4;3]$ 

- Rồi vẽ $[-2;1]$, gạch phần này đi.

- Phần khoảng trắng còn lại là kết quả cần tìm.

Bằng cách vẽ trục số như trên, ta có: $\,\left[ { - 4;3} \right]\backslash \left[ { - 2;1} \right] = \left[ { - 4; - 2} \right) \cup \left( {1;3} \right]$

TH1: $m+2<n$

TH2: $m > n + 1$

Từ hai trường hợp trên ta có:

$A \cap B = \emptyset  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 2 < n\\m > n + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - n <  - 2\\m - n > 1\end{array} \right.$

Điều kiện để tồn tại tập hợp $A$ là:  $m - 1 \le \dfrac{{m + 1}}{2} \Leftrightarrow 2m - 2 < m + 1$$\Leftrightarrow m \le 3\,\,\,\,\left( * \right)$

$A \subset B \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{A \subset \left( { - \infty ; - 2} \right)}\\{A \subset \left[ {2; + \infty } \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{m + 1}}{2} <  - 2}\\{m - 1 \ge 2}\end{array}} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 <  - 4\\m \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m <  - 5}\\{m \ge 3}\end{array}} \right.$

Kết hợp với điều kiện (*) ta có $\left[ \begin{array}{l}m <  - 5\\m = 3\end{array} \right.$ là các giá trị cần tìm.

Điều kiện để tồn tại tập hợp $A$ là: $m - 1 \le \dfrac{{m + 1}}{2} \Leftrightarrow 2m - 2 \le m + 1$$\Leftrightarrow m \le 3\,\,\,\,\left( * \right)$

Biểu diễn trên trục số:

$\Rightarrow A \cap B = \emptyset  \Leftrightarrow A \subset \left[ { - 2;\,\,2} \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2 \le m - 1}\\{\dfrac{{m + 1}}{2} < 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge  - 1}\\{m < 3}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow  - 1 \le m < 3$

Kết hợp với điều kiện (*) ta có $- 1 \le m < 3$ là các giá trị cần tìm.

$A = \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A\backslash B} \right) = \left[ {1;4} \right] \cup \left( { - 3;1} \right) = \left( { - 3;4} \right]$

$B = \left( {A \cup B} \right)\backslash \left( {A\backslash B} \right) = \left( { - 3;8} \right)\backslash \left( { - 3;1} \right) = \left[ {1;8} \right)$

$x \in A \cap B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in A\\x \in B\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 0\\x \in \mathbb{Q}\\ - 6 \le x < 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Q}\\ - 6 \le x < 0\end{array} \right.$

Suy ra, $A \cap B = \left\{ {x \in \mathbb{Q}\left| { - 6 \le x < 0} \right.} \right\}$

Ta có $\left( { - \infty ;m} \right) \cap \left[ { - 3;5} \right) \ne \emptyset  \Leftrightarrow m >  - 3$

Biểu biễn trên trục số:

Với $m =  - 3$ thì $\left( { - \infty ; - 3} \right) \cap \left[ { - 3;5} \right) = \emptyset$ nên loại A,B,C.

Với $A = \left( {m-1;\,\,4} \right],{\rm{ }}B = \left( {-2;\,\,2m + 2} \right)$ khác tập rỗng.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 4\\2m + 2 >  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\m >  - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  - 2 < m < 5\,\,\,\,\,\left( * \right).\\ \Rightarrow A \cap B = \left[ \begin{array}{l}\left( {m - 1;\,\,2m + 2} \right)\\\left( { - 2;\,\,2m + 2} \right)\\\left( {m - 1;\,\,4} \right]\\\left( { - 2;\,\,4} \right]\end{array} \right. \\\left( {A \cap B} \right) \subset \left( { - 1\,;\,\,3} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1;\,\,2m + 2} \right) \subset \left( { - 1\,;\,\,3} \right) \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge  - 1\\2m + 2 \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m \le \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\left( {tm\,\,\,\left( * \right)} \right)\end{array}$

Ta có: ${C_\mathbb{R}}A = \left[ {m; + \infty } \right)$

$\Rightarrow {C_\mathbb{R}}A \cap B \ne \emptyset$$\Leftrightarrow m \le 3m + 3 \Leftrightarrow m \ge  - \dfrac{3}{2}.$

Vậy $m \ge  - \dfrac{3}{2}$ là giá trị cần tìm.

Ta có : $A \cup B = \left\{ {x \in \mathbb{R}:\,\,x \in A\,\,\,hoac\,\,x \in B} \right\}.$

$\Rightarrow \left( {0;3} \right) \cup \left[ {1;4} \right] = \left( {0;4} \right]$

Ta có: $A = \{ x \in R\left| {1 < x \le 2\} } \right. = \left( {1;2} \right]$