Các tập hợp số

Tập \(\left[ {0;4} \right] \)

Tập  \(\left[ {0;4} \right] \cap \left[ {3;5} \right] \)

Vậy  \(\left[ {0;4} \right] \cap \left[ {3;5} \right] = \left[ {3;4} \right]\)

Ta có: \(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cap \left[ { - 2; + \infty } \right) = \left\{ { - 2} \right\}\).

Vì \(\left( { - \infty ; - 2} \right] \) tương ứng với: \(x\le -2\)

$\left[ { - 2; + \infty } \right) $  tương ứng với: \(x\ge -2\)

\(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cap \left[ { - 2; + \infty } \right) \) tương ứng với  \(x\le -2\) và \(x\ge -2\).

Vậy $x=-2$

Xét trục số:

Phần không bị gạch là phần bù của $\left( { - \infty ;4} \right)$, tức là \(\left[ {4; + \infty } \right)\)

Vậy \(\left( {0; + \infty } \right)\backslash \left( { - \infty ;4} \right) = \left[ {4; + \infty } \right)\)

Quan sát hình vẽ ta thấy, tập hợp được biểu diễn là tập \(\left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left[ {3; + \infty } \right)\) hay \(\mathbb{R}\backslash \left[ { - 3;3} \right).\)

Ta có: $A = ( - \infty ;2]$,  $B = {\rm{[}}2; + \infty )$, $C = \left( {0;3} \right)$

+) \(B \cap C = \left[ {2;3} \right)\) nên A đúng.

+) $A \cap C = (0;2]$ nên B đúng.

+) $A \cup B = R$ nên C sai.

+) $B \cup C = (0; + \infty )$ nên D đúng.

Ta có: $A = \left[ {-2;4} \right),B = \left( {0;{\rm{ }}5} \right]$

Do đó, \(A \cup B = \left[ { - 2;5} \right]\) nên A đúng.

+) \(A \cap B = \left( {0;4} \right)\) nên B sai.

+) $A\backslash B = \left[ {-2;0} \right]$ nên C đúng.

+) $B\backslash A = \left[ {4;5} \right]$ nên D đúng.

Ta có: $A = \left\{ {x \in R|\left| x \right| > 4} \right\} = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$

$B = \left\{ {x \in R| - 5 \le x - 1 < 5} \right\} = \left[ { - 4;6} \right)$

Khi đó, \(A \cup B = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right) \cup \left[ { - 4;6} \right) = R\)

+) $A \cap B = (4;6)$ nên A đúng.

+) $B\backslash A = [ - 4;4]$ nên B đúng.

+) $R\backslash (A \cap B) = \left( { - \infty ;4} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right)$ nên C sai.

+) $R\backslash (A \cup B) = R\backslash R = \emptyset $ nên D đúng.

Vì $\left( {4; + \infty } \right) \cap \left( {-\infty ;2} \right] = \emptyset $ nên $\left( {4; + \infty } \right)\backslash \left( {-\infty ;2} \right] = \left( {4; + \infty } \right)$.

Ta có: $\left( {-\infty ;3} \right) \cup \left[ {3; + \infty } \right) = R$ nên A đúng.

$R\backslash \left( {-\infty ;0} \right) = \left[ {0; + \infty } \right) = {R_ + }$ nên B đúng.

$R\backslash \left( {0; + \infty } \right) = \left( { - \infty ;0} \right] = {R_ - }$ nên C đúng và D sai.

Ta có: \(A\backslash B = \emptyset  \Leftrightarrow A \subset B\) hoặc \(A = B\).

Đặt \(A = \left[ {3;12} \right),B = \left( { - \infty ;a} \right)\)

Dễ thấy \(A \ne B\) nên bài toán thỏa mãn \( \Leftrightarrow A \subset B \Leftrightarrow \left[ {3;12} \right) \subset \left( { - \infty ;a} \right) \Leftrightarrow 12 \le a\).

Ta có: $A = \left[ {a;a + 1} \right) \Rightarrow {C_R}A = R\backslash A = \left( { - \infty ;a} \right) \cup \left[ {a + 1; + \infty } \right)$

Để \(\left( { - \infty ;1} \right] \cap \left( {m;m + 1} \right) = \emptyset \) thì hai tập số \(\left( { - \infty ;1} \right]\) và \(\left( {m;m + 1} \right)\) phải rời nhau trên \(R\).

Khi đó tập \(\left( {m;m + 1} \right)\) khi biểu diễn trên trục số sẽ phải nằm về bên phải tập \(\left( { - \infty ;1} \right]\).

Điều đó chỉ xảy ra khi \(1 \le m < m + 1 \Leftrightarrow m \ge 1\).

\(\left( {0;1} \right) \cap \left( {m;m + 3} \right) = \emptyset  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < 1 \le m < m + 3\\m < m + 3 \le 0 < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le  - 3\end{array} \right.\).

Ta có: \(\left( { - \infty ;0} \right] \cap \left[ {m - 1;m + 1} \right) = A\) với \(A\) chỉ có một phần tử

\( \Leftrightarrow 0 = m - 1 < m + 1 \Leftrightarrow m = 1\).

Ta có: \(\left( { - 1;1} \right) \subset \left( {m;m + 3} \right) \Leftrightarrow m \le  - 1 < 1 \le m + 3 \Leftrightarrow  - 2 \le m \le  - 1\).

+) TH1: \( - 1 \le m - 1 \le 1 \Leftrightarrow  0 \le m \le 2\)

+) TH2: \(m - 1 \le  - 1 \le m + 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 4 \le m \le 0\)

Kết hợp hai trường hợp trên ta được \(\left[ \begin{array}{l} 0 \le m \le 2\\ - 4 \le m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 4 \le m \le 2\)

Đặt \(B = \left( { - \infty ; - 1} \right),C = \left( {1; + \infty } \right),A = \left[ {a;\dfrac{{a + 1}}{2}} \right]\). Khi đó:

\(A \subset \left( {B \cup C} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left[ {a;\dfrac{{a + 1}}{2}} \right] \subset \left( { - \infty ; - 1} \right)\\\left[ {a;\dfrac{{a + 1}}{2}} \right] \subset \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \le \dfrac{{a + 1}}{2} <  - 1\\1 < a \le \dfrac{{a + 1}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2a \le a + 1 <  - 2\\2 < 2a \le a + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a <  - 3\)

Xét trục số:

\(A \cup B = \mathbb{R} \Leftrightarrow 2m + 1 \le  - 2 \Leftrightarrow m \le \dfrac{{ - 3}}{2}\)

Ta có: \(\mathbb{R}\backslash \left[ {1;3} \right] = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right).\)

Biểu diễn trên trục số: