Hỏi bất phương trình (2−x)(x+1)(3−x)≤0 có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương ?
Đặt f(x)=(2−x)(x+1)(3−x)
Phương trình 2−x=0⇔x=2;x+1=0⇔x=−1 và 3−x=0⇔x=3.
Ta có bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f(x)≤0⇔x∈(−∞;−1]∪[2;3].
Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên dương.
Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình x(x−2)(x+1)>0 là
Đặt f(x)=x(x−2)(x+1).
Phương trình x=0;x−2=0⇔x=2 và x+1=0⇔x=−1. Ta có bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f(x)>0⇔x∈(−1;0)∪(2;+∞).
Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là 3.
Bất phương trình 2−x2x+1≥0 có tập nghiệm là
Đặt f(x)=2−x2x+1. Ta có 2−x=0⇔x=2 và 2x+1=0⇔x=−12.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f(x)≥0⇔−12<x≤2.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=(−12;2].
2x−43−x≥0
ĐKXĐ: x≠3
Đặt f(x)=2x−43−x . Ta có bảng:
Vậy f(x)≥0⇔2≤x<3⇒ Tập nghiệm của phương trình là [2;3).
Bất phương trình 31−x≥52x+1 có tập nghiệm là
Bất phương trình 31−x≥52x+1⇔11x−2(1−x)(2x+1)≥0.
Đặt f(x)=11x−2(1−x)(2x+1).
Ta có 11x−2=0⇔x=211;1−x=0⇔x=1,2x+1=0⇔x=−12.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f(x)≥0⇔[x<−12211≤x<1.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=(−∞;−12)∪[211;1).
Bất phương trình 2xx+1−1x−1≤2 có tập nghiệm là
Bất phương trình 2xx+1−1x−1≤2⇔1−3x(x−1)(x+1)≤0.
Đặt f(x)=1−3x(x−1)(x+1).
Ta có 1−3x=0⇔x=13;x−1=0⇔x=1; x+1=0⇔x=−1.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f(x)≤0⇔[−1<x≤13x>1.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=(−1;13]∪(1;+∞).
Bất phương trình 1x+2x+4<3x+3 có tập nghiệm là
Bất phương trình 1x+2x+4<3x+3⇔x+12x(x+3)(x+4)<0.
Đặt f(x)=x+12x(x+3)(x+4).
Ta có x+12=0⇔x=−12;x+3=0⇔x=−3; x+4=0⇔x=−4.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f(x)<0⇔[−12<x<−4−3<x<0.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=(−12;−4)∪(−3;0).
Tất cả các giá trị của x thoả mãn |x−1|<1 là
Ta có |x−1|<1⇔−1<x−1<1⇔0<x<2.
Bất phương trình |3x−4|≤2 có nghiệm là
Ta có |3x−4|≤2⇔−2≤3x−4≥2 ⇔2≤3x≤6⇔23≤x≤2.
Bất phương trình |1−3x|>2 có nghiệm là
Ta có |1−3x|>2 ⇔[1−3x>21−3x<−2 ⇔[−1>3x3x>3⇔[x<−13x>1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S=(−∞;−13)∪(1;+∞).
Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên x thỏa mãn bất phương trình |2−xx+1|≥2 ?
Điều kiện: x+1≠0⇔x≠−1.
Bất phương trình |2−xx+1|≥2⇔[2−xx+1≥22−xx+1≤−2⇔[2−xx+1−2≥02−xx+1+2≤0
⇔[2−x−2x−2x+1≥02−x+2x+2x+1≤0 ⇔[−3xx+1≥0x+4x+1≤0 ⇔[xx+1≤0(1)x+4x+1≤0(2)
Giải (1), ta có bảng xét dấu:
Ta có bất phương trình (1)⇔xx+1≤0⇔−1<x≤0.
Giải (2), ta có bảng xét dấu:
Ta có bất phương trình (2)⇔−4≤x<−1.
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S=[−4;−1)∪(−1;0].
Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên x cần tìm là x={−4;−3;−2;0}.
Số nghiệm nguyên của bất phương trình 1≤|x−2|≤4 là
Bất phương trình 1≤|x−2|≤4⇔{|x−2|≤4|x−2|≥1⇔{−4≤x−2≤4[x−2≥1x−2≤−1⇔[−2≤x≤6[x≥3x≤1
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S=[−2;1]∪[3;6].
Vậy số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình là 8.
Bất phương trình |x−3|>|2x+4| có nghiệm là
Ta có |x−3|>|2x+4|⇔|x−3|2>|2x+4|2⇔(x−3)2−(2x+4)2>0
⇔(x−3−2x−4)(x−3+2x+4)>0⇔(−x−7)(3x+1)>0⇔−7<x<−13.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=(−7;−13).
Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x+12≥|2x−4| là
TH1. Với 2x−4≥0⇔x≥2, ta có x+12≥|2x−4|⇔x+12≥2x−4⇔x≤16.
Kết hợp với điều kiện x≥2, ta được tập nghiệm S1=[2;16].
TH2. Với 2x−4<0⇔x<2, ta có x+12≥−2x+4⇔3x≥−8⇔x≥−83.
Kết hợp với điều kiện x<2, ta được tập nghiệm S2=[−83;2).
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S=S1∪S2=[−83;16].
Vậy số nghiệm nguyên x thỏa mãn bất phương trình là 19.
Bất phương trình |3x−4|≥x−3 có nghiệm là
Ta có |3x−4|≥x−3⇔[3x−4≥x−33x−4≤−(x−3) ⇔[2x≥14x≤7⇔[x≥12x≤74
Biểu diễn trên trục số:
Suy ra x∈R.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=R.
Tập nghiệm của bất phương trình |x+1|−|x−2|≥3 là
Xét bất phương trình |x+1|−|x−2|≥3(∗).
Bảng xét dấu
TH1. Với x<−1, khi đó (∗)⇔−x−1+x−2≥3⇔−3≥3 (vô lý) suy ra S1=∅.
TH2. Với −1≤x<2, khi đó (∗)⇔x+1+x−2≥3⇔2x≥4⇔x≥2.
Kết hợp với điều kiện −1≤x<2, ta được tập nghiệm S2=∅.
TH3. Với x≥2, khi đó (∗)⇔x+1−x+2≥3⇔3≥3 (luôn đúng).
Kết hợp với điều kiện x≥2, ta được tập nghiệm S3=[2;+∞).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=S1∪S2∪S3=[2;+∞).
Nghiệm của bất phương trình |x+2|−xx≤2 là
Điều kiện: x≠0.
TH1. Với x+2≥0⇔x≥−2, ta có
|x+2|−xx≤2⇔x+2−xx≤2
⇔2x−2≤0⇔2−2xx≤0 ⇔2(1−x)x≤0
⇔1−xx≤0⇔[x≥1x<0
Kết hợp với điều kiện x≥−2, ta được tập nghiệm S1=[−2;0)∪[1;+∞).
TH2. Với x+2<0⇔x<−2, ta có \dfrac{{\left| {x + 2} \right| - x}}{x} \le 2 \Leftrightarrow \dfrac{{ - x - 2 - x}}{x} \le 2 \Leftrightarrow - \dfrac{{2x + 2}}{x} \le 2
\Leftrightarrow - \dfrac{{x + 1}}{x} \le 1 \Leftrightarrow 1 + \dfrac{{x + 1}}{x} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2x + 1}}{x} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 0\\x \le - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.
Kết hợp với điều kiện x < - \,2, ta được tập nghiệm là {S_2} = \left( { - \,\infty ; - 2} \right).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {S_1} \cup {S_2} = \left[ { - 2;0} \right) \cup \left[ {1; + \infty } \right) \cup \left( { - \infty ; - 2} \right) = \left( { - \,\infty ;0} \right) \cup \left[ {1; + \,\infty } \right).
Cho biểu thức f\left( x \right) = \left( {x + 5} \right)\left( {3 - x} \right). Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình f\left( x \right) \le 0 là
Ta có f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 5} \right)\left( {3 - x} \right) = 0.
Phương trình x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = - \,5 và 3 - x = 0 \Leftrightarrow x = 3.
Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ; - \,5} \right] \cup \left[ {3; + \,\infty } \right).
Cho biểu thức f\left( x \right) = \dfrac{1}{{3x - 6}}. Tập hợp tất cả các giá trị của x để f\left( x \right) \le 0 là
Ta có f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{3x - 6}} \le 0 \Leftrightarrow 3x - 6 < 0 \Leftrightarrow x < 2 \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ;2} \right).
Cho biểu thức f\left( x \right) = \dfrac{{\left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right)}}{{x - 1}}. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình f\left( x \right) > 0 là
- Phương trình x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - \,3;\,\,2 - x = 0 \Leftrightarrow x = 2 và x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1.
- Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ; - \,3} \right) \cup \left( {1;2} \right).