Nghiệm của bất phương trình $\dfrac{{\left| {x + 2} \right| - x}}{x} \le 2$ là

Điều kiện: $x \ne 0.$

TH1. Với $x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - \,2,$ ta có

$\dfrac{{\left| {x + 2} \right| - x}}{x} \le 2 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 2 - x}}{x} \le 2$

\( \Leftrightarrow \frac{2}{x} - 2 \le 0 \Leftrightarrow \frac{{2 - 2x}}{x} \le 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{2\left( {1 - x} \right)}}{x} \le 0\)

$ \Leftrightarrow \dfrac{{1 - x}}{x} \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x < 0\end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện $x \ge  - \,2,$ ta được tập nghiệm ${S_1} = \left[ { - \,2;0} \right) \cup \left[ {1; + \,\infty } \right).$

TH2. Với $x + 2 < 0 \Leftrightarrow x <  - \,2,$ ta có $\dfrac{{\left| {x + 2} \right| - x}}{x} \le 2 \Leftrightarrow \dfrac{{ - x - 2 - x}}{x} \le 2$$ \Leftrightarrow  - \dfrac{{2x + 2}}{x} \le 2$

$ \Leftrightarrow  - \dfrac{{x + 1}}{x} \le 1 \Leftrightarrow 1 + \dfrac{{x + 1}}{x} \ge 0$ $ \Leftrightarrow \dfrac{{2x + 1}}{x} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 0\\x \le  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện $x <  - \,2,$ ta được tập nghiệm là ${S_2} = \left( { - \,\infty ; - 2} \right).$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = {S_1} \cup {S_2} $ \( = \left[ { - 2;0} \right) \cup \left[ {1; + \infty } \right) \cup \left( { - \infty ; - 2} \right)\) $= \left( { - \,\infty ;0} \right) \cup \left[ {1; + \,\infty } \right).$