Một số bài toán về hàm số bậc hai

$2{x^2} - 2x + 1 - m = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x = m - 1$

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của Parabol $\left( P \right):\,\,y = 2{x^2} - 2x$ và đường thẳng $y = m - 1$ có tính chất song song với trục hoành.

Parabol (P) có tọa độ đỉnh $\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right) = \left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)$

Dựa trên đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi $m - 1 >  - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}$

Vì $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $M\left( {1;5} \right)$ và $N\left( { - 2;8} \right)$ nên ta có hệ

$\left\{ \begin{array}{l}a + b + 2 = 5\\4a - 2b + 2 = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.$. Vậy $\left( P \right):y = 2{x^2} + x + 2$.

Ta có $M \in \left( P \right) \Rightarrow c = 4.$

Trục đối xứng $- \dfrac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow b =  - 4.$

Vậy $\left( P \right):y = 2{x^2} - 4x + 4.$

Vì $\left( P \right)$ có đỉnh $I\left( { - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{{11}}{4}} \right)$ nên ta có $\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{1}{2}\\ - \dfrac{\Delta }{{4a}} =  - \dfrac{{11}}{4}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = a\\\Delta  = 11a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 = a\\9 + 8a = 11a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 3$.

Vậy $\left( P \right):y = 3{x^2} + 3x - 2$.

Gọi $A$ và $B$ là hai giao điểm cuả $\left( P \right)$ với trục $Ox$ có hoành độ lần lượt là $- 1$ và $2$. Suy ra $A\left( { - 1;0} \right)$, $B\left( {2;0} \right)$.

Gọi $C$ là giao điểm của $\left( P \right)$ với trục $Oy$ có tung độ bằng $- 2$. Suy ra $C\left( {0; - 2} \right)$.

Theo giả thiết, $\left( P \right)$ đi qua ba điểm $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C$ nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}a - b + c = 0\\4a + 2b + c = 0\\c =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\\c =  - 2\end{array} \right.$.

Vậy $\left( P \right):y = {x^2} - x - 2$.

Xét phương trình: $- 2{x^2} - 4x + 3 - m = 0.$   $\left( 1 \right)$

Để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow  - 2m + 10 \ge 0 \Leftrightarrow m \le 5$.

Ta có $y = \left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right)}&{;f\left( x \right) \ge 0}\\{ - f\left( x \right)}&{;f\left( x \right) < 0}\end{array}} \right.$.

Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số $\left( C \right)$ từ đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như sau:

+ Giữ nguyên đồ thị $y = f\left( x \right)$ phía trên trục hoành.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị $y = f\left( x \right)$ phía dưới trục hoành qua trục hoành (bỏ phần dưới).

Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ như hình vẽ.

Phương trình $\left| {f\left( x \right)} \right| = m$ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ và đường thẳng $y = m$ (song song hoặc trùng với trục hoành).

Dựa vào đồ thị, ta có yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow 0 < m < 1.$

Ta có $f\left( {\left| x \right|} \right) = f\left( x \right)$ nếu $x \ge 0$. Hơn nữa hàm $f\left( {\left| x \right|} \right)$ là hàm số chẵn. Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số $\left( C \right)$ từ đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như sau:

+ Giữ nguyên đồ thị $y = f\left( x \right)$ phía bên phải trục tung.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị $y = f\left( x \right)$ phía bên phải trục tung qua trục tung.

Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ như hình vẽ.

Phương trình

 $f\left( {\left| x \right|} \right) - 1 = m \Leftrightarrow f\left( {\left| x \right|} \right) = m + 1$ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( {\left| x \right|} \right)$ và đường thẳng $y = m + 1$ (song song hoặc trùng với trục hoành).

Dựa vào đồ thị, ta có yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m + 1 = 3 \Leftrightarrow m = 2.$

Từ giả thiết ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\ - \dfrac{b}{{2a}} = 2\\ - \dfrac{\Delta }{{4a}} = 3\\c =  - 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\b =  - 4a\\{b^2} - 4ac =  - 12a\\c =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\b =  - 4a\\16{a^2} + 16a = 0\\c =  - 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\left( {KTM} \right)\\b = 0\\c =  - 1\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 4\\c =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow S = a + b + c = 2.$

Từ giả thiết, ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{{2a}} =  - 2\\4a - 2b + c = 5\\a + b + c =  - 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow a =  - \dfrac{2}{3};{\rm{ }}b =  - \dfrac{8}{3};{\rm{ }}c = \dfrac{7}{3}$

$\Rightarrow S = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 13.$

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $d$  là ${x^2} - 4x + 3 = mx + 3$

$\Leftrightarrow x\left[ {x - \left( {m + 4} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = m + 4\end{array} \right.$.

Để $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,\;B$ khi và chỉ khi $4 + m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 4$.

Với $x = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow A\left( {0;3} \right) \in Oy$.

Với $x = 4 + m \Rightarrow y = {m^2} + 4m + 3$$\Rightarrow B\left( {4 + m;{m^2} + 4m + 3} \right)$

Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ lên $OA$. Suy ra $BH = \left| {{x_B}} \right| = \left| {4 + m} \right|$.

Theo giả thiết bài toán, ta có ${S_{\Delta OAB}} = \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}OA.BH = \dfrac{9}{2}$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.3.\left| {m + 4} \right| = \dfrac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \left| {m + 4} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m =  - 7\end{array} \right.$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $d$  là ${x^2} - 4x + 3 = mx + 3$

$\Leftrightarrow x\left[ {x - \left( {m + 4} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = m + 4\end{array} \right.$.

Để $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,\;B$ khi và chỉ khi $4 + m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 4$.

Khi đó, ta có $x_1^3 + x_2^3 = 8 \Leftrightarrow 0 + {\left( {4 + m} \right)^3} = 8$ $\Leftrightarrow 4 + m = 2 \Leftrightarrow m =  - 2$.

Ta có ${x^2} - 5x + 7 + 2m = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 7 =  - 2m.$ $\left( * \right)$

Phương trình $\left( * \right)$ là phương trình hoành độ giao điểm của parabol $\left( P \right):{x^2} - 5x + 7$ và đường thẳng $y =  - 2m$ (song song hoặc trùng với trục hoành).

Ta có bảng biến thiên của hàm số $y = {x^2} - 5x + 7$ trên $\left[ {1;5} \right]$ như sau:

Dựa vào bảng biến ta thấy $x \in \left[ {1;5} \right]$ thì $y \in \left[ {\dfrac{3}{4};7} \right]$.

Do đó để phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm $x \in \left[ {1;5} \right] \Leftrightarrow \dfrac{3}{4} \le  - 2m \le 7 \Leftrightarrow  - \dfrac{3}{8} \ge m \ge  - \dfrac{7}{2}.$

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $4$ tại $x = 2$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\ - \dfrac{b}{{2a}} = 2\\ - \dfrac{\Delta }{{4a}} = 4\end{array} \right..$

Đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( {0;6} \right)$ nên ta có $c = 6.$

Từ đó ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\ - \dfrac{b}{{2a}} = 2\\ - \dfrac{\Delta }{{4a}} = 4\\c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\b =  - 4a\\{b^2} - 4ac =  - 16a\\c = 6\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\b =  - 4a\\16{a^2} - 8a = 0\\c = 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b =  - 2\\c = 6\end{array} \right.$

$\Rightarrow P = abc =  - 6.$

Xét phương trình hoành độ giao điểm:$- 3{x^2} + bx - 3 = 0.$   $\left( 1 \right)$

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi $\left( 1 \right)$ có $2$ nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta  = {b^2} - 36 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b <  - 6\\b > 6\end{array} \right.$.

Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ là parabol $\Leftrightarrow a \ne 0.$

Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ có đỉnh $I\left( {1;\,\,8} \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{{2a}} = 1\\y\left( 1 \right) = 8\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\a + b + c = 8\end{array} \right.$

Đồ thị hàm số  $y = a{x^2} + bx + c$ đi qua $C\left( {0;\,\,5} \right)$ $\Leftrightarrow c = 5.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\a + b + 5 = 8\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b = 3\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\b = 6\end{array} \right..$

$\Rightarrow S = {a^2} + {b^2} + {c^2}$ $= {\left( { - 3} \right)^2} + {6^2} + {5^2} = 70.$

Vậy $S = 70.$

Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ là parabol $\Leftrightarrow a \ne 0.$

Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ có đỉnh $I\left( {1;\,\,8} \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{{2a}} = 1\\y\left( 1 \right) = 8\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\a + b + c = 8\end{array} \right.$

Đồ thị hàm số  $y = a{x^2} + bx + c$ đi qua $C\left( {0;\,\,5} \right)$ $\Leftrightarrow c = 5.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\a + b + 5 = 8\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b = 3\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\b = 6\end{array} \right..$

$\Rightarrow S = {a^2} + {b^2} + {c^2}$ $= {\left( { - 3} \right)^2} + {6^2} + {5^2} = 70.$

Vậy $S = 70.$

Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ là parabol $\Leftrightarrow a \ne 0.$

Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ có đỉnh $I\left( {1;\,\,8} \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{{2a}} = 1\\y\left( 1 \right) = 8\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\a + b + c = 8\end{array} \right.$

Đồ thị hàm số  $y = a{x^2} + bx + c$ đi qua $C\left( {0;\,\,5} \right)$ $\Leftrightarrow c = 5.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\a + b + 5 = 8\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b = 3\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\b = 6\end{array} \right..$

$\Rightarrow S = {a^2} + {b^2} + {c^2}$ $= {\left( { - 3} \right)^2} + {6^2} + {5^2} = 70.$

Vậy $S = 70.$

Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ là parabol $\Leftrightarrow a \ne 0.$

Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ có đỉnh $I\left( {1;\,\,8} \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{{2a}} = 1\\y\left( 1 \right) = 8\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\a + b + c = 8\end{array} \right.$

Đồ thị hàm số  $y = a{x^2} + bx + c$ đi qua $C\left( {0;\,\,5} \right)$ $\Leftrightarrow c = 5.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\a + b + 5 = 8\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b = 3\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\b = 6\end{array} \right..$

$\Rightarrow S = {a^2} + {b^2} + {c^2}$ $= {\left( { - 3} \right)^2} + {6^2} + {5^2} = 70.$

Vậy $S = 70.$

Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ là parabol $\Leftrightarrow a \ne 0.$

Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ có đỉnh $I\left( {1;\,\,8} \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{{2a}} = 1\\y\left( 1 \right) = 8\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\a + b + c = 8\end{array} \right.$

Đồ thị hàm số  $y = a{x^2} + bx + c$ đi qua $C\left( {0;\,\,5} \right)$ $\Leftrightarrow c = 5.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\a + b + 5 = 8\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b = 3\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\b = 6\end{array} \right..$

$\Rightarrow S = {a^2} + {b^2} + {c^2}$ $= {\left( { - 3} \right)^2} + {6^2} + {5^2} = 70.$

Vậy $S = 70.$