Bài tập ôn tập chương 1

Ta có $Q:\,\forall x \in \mathbb{R},\,\,{x^2} \ge 0$, mệnh đề phủ định là $\overline Q :\,\exists x \in \mathbb{R},\,\,{x^2} < 0$

Mệnh đề $B$ đúng và $\overline B$ : “Mọi số tự nhiêu đều không phải là số nguyên tố"

+ Với $x = \dfrac{1}{4}$ ta có ${\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2} - 2.\dfrac{1}{4} =  - \dfrac{7}{{16}} < 0$ nên $P\left( {\dfrac{1}{4}} \right)$ sai.

+ Với $x = 2$ ta có ${2^2} - 2.2 = 0 \ge 0$ nên $P\left( 2 \right)$ là mệnh đề đúng.

+ Với $x = 1$ thì ${1^2} - 2.1 =  - 1 < 0$ nên $P\left( 1 \right)$ sai.

+ Với $x = 0,5$ thì ${0,5^2} - 2.0,5 =  - \dfrac{3}{4} < 0$ nên $P\left( {0,5} \right)$ sai.

Đáp án A: Mệnh đề $\forall x \in \mathbb{R},\,\,{x^3} - {x^2} + 1 > 0$ sai chẳng hạn khi $x =  - 1$ ta có ${\left( { - 1} \right)^3} - {\left( { - 1} \right)^2} + 1 =  - 1 < 0$

Đáp án B: Mệnh đề $\forall x \in \mathbb{R},\,\,{x^4} - {x^2} + 1 = \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} - \sqrt 3 x + 1} \right)$ đúng vì

$\,{x^4} - {x^2} + 1 = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} - 3{x^2} = \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} - \sqrt 3 x + 1} \right)$

Đáp án C: Mệnh đề $\exists x \in N,\,\,{n^2} + 3$ chia hết cho $4$ đúng vì $n = 1 \in N$và ${n^2} + 3 = 4 \vdots 4$

Đáp án D: Mệnh đề "$\forall n \in N,\,n\left( {n + 1} \right)$ là một số chẵn" đúng vì $n,n + 1$ là hai số tự nhiên liên tiếp và trong hai số tự nhiên liên tiếp luôn có $1$ số chẵn nên tích của chúng chia hết cho $2$ (là một số chẵn)

Mệnh đề $P:$$''\forall x \in R,x \in \mathbb{Q} \Rightarrow 2x \in \mathbb{Q}''$. Mệnh đề này đúng vì $x \in \mathbb{Q},2 \in \mathbb{Q}$ nên $2x \in \mathbb{Q}$

Vì mệnh đề $P$ đúng nên mệnh đề $\overline P$ sai.

“$\forall n \in \mathbb{N},\,\,B(n) \Rightarrow A(n)$” : Với mọi số tự nhiên $n,$ nếu ${n^2}$ là số chẵn thì $n$ là số chẵn.

$3$ là một phần tử của tập hợp $A$.

$\left\{ {3,4} \right\}$ là một tập con của tập hợp $A$. Ký hiệu: $\left\{ {3,4} \right\} \subset A$.

$\left\{ {a,3,b} \right\}$ là một tập con của tập hợp $A$. Ký hiệu: $\left\{ {a,3,b} \right\} \subset A$.

$A = \left\{ {{\rm{x}} \in \mathbb{Z}\left| {\left| {\rm{x}} \right| < 1} \right.} \right\} \Rightarrow A = \left\{ 0 \right\}.$

$B = \left\{ {{\rm{x}} \in \mathbb{Z}\left| {6{x^2} - 7x + 1 = 0} \right.} \right\}$.

Ta có $6{x^2} - 7x + 1 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{1}{6} \notin \mathbb{Z}\end{array} \right.$ $\Rightarrow B = \left\{ 1 \right\}.$

$C = \left\{ {{\rm{x}} \in \mathbb{Q}\left| {{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - 4x + 2 = 0} \right.} \right\}$.

Ta có ${x^2} - 4x + 2 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 - \sqrt 2  \notin \mathbb{Q}\\x = 2 + \sqrt 2  \notin \mathbb{Q}\end{array} \right.$ $\Rightarrow C = \emptyset$

$D = \left\{ {{\rm{x}} \in \mathbb{R}\left| {{x^2} - 4x + 3 = 0} \right.} \right\}$.

Ta có ${x^2} - 4x + 3 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$ $\Rightarrow D = \left\{ {1;\,3} \right\}.$

Số tập con của tập hợp $X$ là: ${2^4} = 16$ nên A đúng.

Các tập hợp con có $2$ phần tử của $X$ là:

$\left\{ {1;2} \right\},\left\{ {1;3} \right\},\left\{ {1;4} \right\},\left\{ {2;3} \right\},\left\{ {2;4} \right\},\left\{ {3;4} \right\}$

Có $6$ tập hợp con gồm $2$ phần tử nên B sai.

Số tập con của tập hợp $X$ chứa số $1$ là: $8$ nên C sai.

Đó là các tập hợp: $\left\{ 1 \right\}$, $\left\{ {1;2} \right\},\left\{ {1;3} \right\}$, $\left\{ {1;4} \right\}$, $\left\{ {1;2;3} \right\}$, $\left\{ {1;2;4} \right\}$, $\left\{ {1;3;4} \right\}$, $\left\{ {1;2;3;4} \right\}.$

Số tập con có $3$ phần tử của tập hợp $X$ là: $4$, cụ thể: $\left\{ {1;2;3} \right\},\left\{ {1;2;4} \right\},\left\{ {2;3;4} \right\},\left\{ {1;3;4} \right\}$ nên D sai.

${C_\mathbb{R}}A = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left[ { - 3;2} \right)$$= \left( { - \infty ;\, - 3} \right) \cup \left[ {2;\, + \infty } \right).$

A sai vì $\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} = I$

B sai vì ${\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{N} \Rightarrow {\mathbb{N}^*} \cup \mathbb{N} = \mathbb{N}$

C sai vì ${\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{Z} \Rightarrow {\mathbb{N}^*} \cap \mathbb{Z} = {\mathbb{N}^*}$

D đúng do ${\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{Q} \Rightarrow {\mathbb{N}^*} \cap \mathbb{Q} = {\mathbb{N}^*}$

$+M = \left\{ {0;\,2;\,4;\,6;\,8;\,10 ;\,12;...} \right\};$ $N = \left\{ {0;\,6;\,12;...} \right\}$$\Rightarrow N \subset M,M \cap N = N.$

$+ \;P = \left\{ {1;\,2} \right\};$ $Q = \left\{ {1;\,2;\,3;\,6} \right\}$ $\Rightarrow \,\,P \subset Q,\,\,P \cap Q = P$

$A = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\},B = \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}.$

$A\backslash B = \left\{ {0;1} \right\},\,\,B\backslash A = \left\{ {5;6} \right\}$$\Rightarrow \left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {B\backslash A} \right) = \left\{ {0;1;5;6} \right\}$

${C_\mathbb{R}}A = \left[ { - 3;\sqrt 8 } \right)$, ${C_\mathbb{R}}B = \left( { - 5;2} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;\sqrt {11} } \right) = \left( { - 5;\,\sqrt {11} } \right)$

$A = \left( { - \infty ;\, - 3} \right) \cup \left[ {\sqrt 8 ; + \infty } \right)$, $B = \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {\sqrt {11} ; + \infty } \right).$

$\Rightarrow A \cap B = \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {\sqrt {11} ; + \infty } \right)$$\Rightarrow {C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = \left( { - 5;\sqrt {11} } \right).$

$\left( { - \infty ;9a} \right) \cap \left( {\dfrac{4}{a}; + \infty } \right) \ne \emptyset \,\,\left( {a < 0} \right)$ $\Leftrightarrow \,\,\dfrac{4}{a} < 9a\,$ $\Leftrightarrow \,\,\dfrac{4}{a} - 9a\,\, < 0\,$

$\Leftrightarrow \dfrac{{4 - 9{a^2}}}{a} < 0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - 9{a^2} > 0\\a < 0\,\,\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{2}{3} < a < \dfrac{2}{3}\\a < 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow  - \dfrac{2}{3} < a < 0$.

Bước 1:

Ta có $A = \left\{ {x \in R:x + 2 \ge 0} \right\}$$\Rightarrow A = \left[ { - 2;\, + \infty } \right)$,

$B = \left\{ {x \in R:5 - x \ge 0} \right\}$$\Rightarrow B = \left( { - \infty ;\,5} \right]$.

Bước 2:

Biểu diễn trên trục số: 

Ta gạch bỏ phần không thuộc tập hợp A (Màu xanh) và phần thuộc tập hợp B (Màu cam) thì được hiệu (phần không bị gạch):

$\Rightarrow A\backslash B = \left( {5;\, + \infty } \right).$

+ Do $A,B \ne \emptyset$ ta có điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 4\\2m + 2 >  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\m >  - 2\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow  - 2 < m < 5$

Để $A \cap B = \emptyset  \Leftrightarrow 2m + 2 \le m - 1 \Leftrightarrow m \le  - 3$ (không thỏa điều kiện $- 2 < m < 5$)

Do đó không có giá trị nào của $m$ để $A \cap B = \emptyset$

Vậy với mọi $m \in \left( { - 2;5} \right)$ thì $A \cap B \ne \emptyset$

Đáp án B sai vì học sinh không tìm điều kiện.

Đáp án C sai vì học sinh giải sai $m - 1 >  - 2 \Leftrightarrow m >  - 1$ và kết hợp với điều kiện.

Đáp án D sai vì học sinh giải sai $4 < 2m + 2 \Leftrightarrow m > 1$. Kết hợp với điều kiện

Với $2$ tập khác rỗng $A,B$ ta có điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 4\\2m + 2 >  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\m >  - 2\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow  - 2 < m < 5$

Để $A \subset B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge  - 2\\2m + 2 > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  - 1\\2m + 2 > 4\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  - 1\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1$

So với điều kiện $1 < m < 5$

Đáp án B sai vì học sinh không giải điều kiện.

Đáp án C sai vì học sinh giải:

Với $2$ tập khác rỗng $A, B$ ta có điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 4\\2m + 2 >  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\m >  - 2\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow  - 2 < m < 5$

Để $A \subset B \Leftrightarrow m - 1 \ge  - 2 \Leftrightarrow m \ge  - 1$. Kết hợp với điều kiện được kết quả $- 1 \le m < 5$

Đáp án D sai vì học sinh giải $A \subset B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 <  - 2\\2m + 2 < 4\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - 1\\m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m <  - 1$

Kết hợp với điều kiện $- 2 < m <  - 1$

Điều kiện $a \le 8 - a \Leftrightarrow a \le 4$.

Khi đó để tập $A$ có độ dài là $5$ thì $8 - a - a = 5 \Leftrightarrow a = \dfrac{3}{2}$(thỏa điều kiện).

Đáp án B sai vì học sinh giải $a - \left( {8 - a} \right) = 5 \Leftrightarrow a = \dfrac{{13}}{2}$

Đáp án C sai vì học sinh giải $8 - a = 5 \Leftrightarrow a = 3$.

Đáp án D sai vì học sinh chỉ giải $a < 8 - a \Leftrightarrow a < 4$.

*) Vì $a \in \mathbb{N},\,\,a \le 2 \Rightarrow a \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2} \right\}$.

*) Nhập biểu thức của $x$ vào máy tính.

*) Thay lần lượt giá trị của $a$ vào biểu thức để tìm $x$.

Với $a = 0$: Nhấn phím “CALC” + “0” + “=” ta được: 

Với $a = 1$: Nhấn phím “CALC” + “1” + “=” ta được: 

Với $a = 2$: Nhấn phím “CALC” + “2” + “=” ta được: 

$\Rightarrow A = \left\{ {0;\,\,\dfrac{2}{3};\,\,\dfrac{{44}}{{25}}} \right\}$