Hàm số bậc hai

Hàm số $y = {x^2} - 4x + 3$ có $a = 1 > 0$ nên bề lõm hướng lên.

Hoành độ đỉnh $x =  - \dfrac{b}{{2a}} = 2 \notin \left[ { - 2;1} \right]$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = 15\\f\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow m = \min y = f\left( 1 \right) = 0;$ $M = \max y = f\left( { - 2} \right) = 15$

Cách 1. Ta có $y = {x^2} - 4x + 5 = {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 \ge 1$ $\Rightarrow {y_{\min }} = 1$

Cách 1. Ta có $y =  - \sqrt 2 {x^2} + 4x =  - \sqrt 2 {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2} + 2\sqrt 2  \le 2\sqrt 2$ $\Rightarrow {y_{\max }} = 2\sqrt 2$

Ta có $- \dfrac{b}{{2a}} =  - 1$. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right).$

Hàm số $y =  - {x^2} + 5x - 6$ có $- \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{5}{{2.1}} = \dfrac{5}{2}$ và $a =  - 1 < 0$ nên hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;\dfrac{5}{2}} \right)$ và nghịch biến trên $\left( {\dfrac{5}{2}; + \infty } \right)$.

Ta thấy $\left( {1;2} \right) \subset \left( { - \infty ;\dfrac{5}{2}} \right)$ nên hàm số đồng biến trên (1;2). 

Ta có $- \dfrac{b}{{2a}} = 2.$ Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;2} \right).$ Do đó A đúng, B sai.

Đáp án C đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ thì đồng biến trên khoảng con $\left( { - \infty ; - 1} \right)$.

Đáp án D đúng vì hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ thì nghịch biến trên khoảng con $\left( {3; + \infty } \right).$

Xét đáp án D, ta có $y =  - \sqrt 2 {\left( {x + 1} \right)^2} =  - \sqrt 2 {x^2} - 2\sqrt 2 x - \sqrt 2$ nên $- \dfrac{b}{{2a}} =  - 1$ và có $a < 0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right)$.

Đồ thị hàm số đi lên trên khoảng $\left( { - \infty ;3} \right)$ nên đồng biến trên khoảng đó. Do đó A đúng.

Dựa vào đồ thị ta thấy $\left( P \right)$ có đỉnh có tọa độ $\left( {3;4} \right)$. Do đó B đúng.

$\left( P \right)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ $- 1$ và $7$. Do đó D đúng.

Dùng phương pháp loại trừ thì C là đáp án sai.

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ với trục hoành là ${x^2} + 4x + 4 = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x =  - 2$.

Vậy $\left( P \right)$ có $1$ điểm chung với trục hoành.

- Ta có

$y = -3{x^2}-2x + 5 =  - 3({x^2} + \dfrac{2}{3}x) + 5\,\, =  - 3({x^2} + 2.x.\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{9}) + 5\,\, =  - 3{\left( {x + \dfrac{1}{3}} \right)^2} + \dfrac{{16}}{3}$

Do đó, đồ thị hàm số có được nhờ tịnh tiến parabol sang trái $\dfrac{1}{3}$ đơn vị rồi lên trên $\dfrac{{16}}{3}$ đơn vị.

Parabol có hệ số theo ${x^2}$ là $4 > 0$ nên bề lõm hướng lên. Hoành độ đỉnh ${x_I} = \dfrac{m}{2}$.

Nếu $\dfrac{m}{2} < - 2 \Leftrightarrow m < - 4$ thì ${x_I} <  - 2 < 0\,$. Suy ra $f\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ { - 2;0} \right]$.

Do đó $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = {m^2} + 6m + 16$.

Theo yêu cầu bài toán: ${m^2} + 6m + 16 = 3$ (vô nghiệm).

Nếu $- 2 \le \dfrac{m}{2} \le 0 \Leftrightarrow - 4 \le m \le 0$ thì ${x_I} \in \left[ {0;2} \right]$.

Suy ra $f\left( x \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh. Do đó $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{m}{2}} \right) =  - 2m$.

Theo yêu cầu bài toán $- 2m = 3 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{3}{2}$ (thỏa mãn $- 4 \le m \le 0$).

Nếu $\dfrac{m}{2} > 0 \Leftrightarrow m > 0$ thì ${x_I} > 0 > - 2$. Suy ra $f\left( x \right)$ nghịch biến trên đoạn $\left[ { - 2;0} \right]$.

Do đó $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = {m^2} - 2m.$

Theo yêu cầu bài toán: ${m^2} - 2m = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\,\,\left( {loại} \right)\\m = 3\,\,\,\left( {thỏa mãn} \right)\end{array} \right..$

Bảng biến thiên:

Bề lõm hướng lên nên $a > 0.$

Hoành độ đỉnh parabol $x =  - \dfrac{b}{{2a}} > 0$ nên $b < 0.$

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $c > 0.$

Bề lõm hướng lên nên $a > 0.$

Hoành độ đỉnh parabol $x =  - \dfrac{b}{{2a}} > 0$ nên $b < 0.$

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $c < 0.$

Bề lõm hướng xuống nên $a < 0.$

Hoành độ đỉnh parabol $x =  - \dfrac{b}{{2a}} > 0$ nên $b > 0.$

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $c < 0.$

Bề lõm hướng xuống nên $a < 0.$

Hoành độ đỉnh parabol $x =  - \dfrac{b}{{2a}} < 0$ nên $b < 0.$

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $c > 0.$

Ví dụ trường hợp đồ thị có đỉnh nằm phía trên trục hoành thì khi đó đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

(Hoặc xét phương trình hoành độ giao điểm $a{x^2} + bx + c = 0$, phương trình này không phải lúc nào cũng có hai nghiệm).

Gọi parabol $\left( P \right)$ có phương trình $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$.

Vì $\left( P \right)$ đi qua ba điểm $A\left( {1;1} \right),{\rm{ }}B\left( { - 1; - 3} \right),{\rm{ }}O\left( {0;0} \right)$ nên có hệ

$\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1\\a - b + c =  - 3\\c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 2\\c = 0\end{array} \right.$. Vậy $\left( P \right):y =  - {x^2} + 2x$.

$y = 3{x^2} + 4x - 1$ có $a=3; b=4$

=>Đồ thị hàm số $y = 3{x^2} + 4x - 1$ nhận đường thẳng $x =  - \dfrac{4}{{2.3}} =  - \dfrac{2}{3}$ làm trục đối xứng.

Cho $x = 0$ ta có: $y =  - {0^2} - 2.0 + 5 = 5$.

Vậy giao điểm của $(P)$ với $Oy$ là $(0;5)$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $d$ là:

 $\begin{array}{l}{x^2} - 4x =  - x - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow y =  - 3}\\{x = 2 \Rightarrow y =  - 4}\end{array}} \right..\end{array}$

Vậy toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là $M\left( {1; - 3} \right),N\left( {2; - 4} \right)$