Tìm giá trị lớn nhất \(M\) và giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right].\)
Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) có \(a = 1 > 0\) nên bề lõm hướng lên.
Hoành độ đỉnh \(x = - \dfrac{b}{{2a}} = 2 \notin \left[ { - 2;1} \right]\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = 15\\f\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow m = \min y = f\left( 1 \right) = 0;\) \(M = \max y = f\left( { - 2} \right) = 15\)
Tìm giá trị nhỏ nhất \({y_{\min }}\) của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 5.\)
Cách 1. Ta có \(y = {x^2} - 4x + 5 = {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 \ge 1\) \( \Rightarrow {y_{\min }} = 1\)
Tìm giá trị lớn nhất \({y_{\max }}\) của hàm số \(y = - \sqrt 2 {x^2} + 4x.\)
Cách 1. Ta có \(y = - \sqrt 2 {x^2} + 4x = - \sqrt 2 {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2} + 2\sqrt 2 \le 2\sqrt 2 \) \( \Rightarrow {y_{\max }} = 2\sqrt 2 \)
Hàm số \(y = 2{x^2} + 4x - 1\)
Ta có \( - \dfrac{b}{{2a}} = - 1\). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)
Hàm số \(y = - {x^2} + 5x - 6\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Hàm số \(y = - {x^2} + 5x - 6\) có \( - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{5}{{2.1}} = \dfrac{5}{2}\) và \(a = - 1 < 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\dfrac{5}{2}} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{5}{2}; + \infty } \right)\).
Ta thấy \(\left( {1;2} \right) \subset \left( { - \infty ;\dfrac{5}{2}} \right)\) nên hàm số đồng biến trên (1;2).
Cho hàm số \(y = - {x^2} + 4x + 1.\) Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có \( - \dfrac{b}{{2a}} = 2.\) Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right).\) Do đó A đúng, B sai.
Đáp án C đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) thì đồng biến trên khoảng con \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
Đáp án D đúng vì hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì nghịch biến trên khoảng con \(\left( {3; + \infty } \right).\)
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)?\)
Xét đáp án D, ta có \(y = - \sqrt 2 {\left( {x + 1} \right)^2} = - \sqrt 2 {x^2} - 2\sqrt 2 x - \sqrt 2 \) nên \( - \dfrac{b}{{2a}} = - 1\) và có \(a < 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị \(\left( P \right)\) như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây là sai?
Đồ thị hàm số đi lên trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\) nên đồng biến trên khoảng đó. Do đó A đúng.
Dựa vào đồ thị ta thấy \(\left( P \right)\) có đỉnh có tọa độ \(\left( {3;4} \right)\). Do đó B đúng.
\(\left( P \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ \( - 1\) và \(7\). Do đó D đúng.
Dùng phương pháp loại trừ thì C là đáp án sai.
Parabol \(\left( P \right):y = {x^2} + 4x + 4\) có số điểm chung với trục hoành là
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) với trục hoành là \({x^2} + 4x + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - 2\).
Vậy \(\left( P \right)\) có \(1\) điểm chung với trục hoành.
Cho hàm số \(y = -3{x^2}-2x + 5\). Đồ thị hàm số này có thể được suy ra từ đồ thị hàm số \(y = - 3{x^2}\) bằng cách
- Ta có
\(y = -3{x^2}-2x + 5 = - 3({x^2} + \dfrac{2}{3}x) + 5\,\, = - 3({x^2} + 2.x.\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{9}) + 5\,\, = - 3{\left( {x + \dfrac{1}{3}} \right)^2} + \dfrac{{16}}{3}\)
Do đó, đồ thị hàm số có được nhờ tịnh tiến parabol sang trái \(\dfrac{1}{3}\) đơn vị rồi lên trên \(\dfrac{{16}}{3}\) đơn vị.
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) = 4{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m\) trên đoạn \(\left[ { - 2;0} \right]\) bằng \(3.\) Tính tổng \(T\) các phần tử của \(S.\)
Parabol có hệ số theo \({x^2}\) là \(4 > 0\) nên bề lõm hướng lên. Hoành độ đỉnh \({x_I} = \dfrac{m}{2}\).
Nếu \(\dfrac{m}{2} < - 2 \Leftrightarrow m < - 4\) thì \({x_I} < - 2 < 0\,\). Suy ra \(f\left( x \right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ { - 2;0} \right]\).
Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = {m^2} + 6m + 16\).
Theo yêu cầu bài toán: \({m^2} + 6m + 16 = 3\) (vô nghiệm).
Nếu \( - 2 \le \dfrac{m}{2} \le 0 \Leftrightarrow - 4 \le m \le 0\) thì \({x_I} \in \left[ {0;2} \right]\).
Suy ra \(f\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh. Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{m}{2}} \right) = - 2m\).
Theo yêu cầu bài toán \( - 2m = 3 \Leftrightarrow m = - \dfrac{3}{2}\) (thỏa mãn \( - 4 \le m \le 0\)).
Nếu \(\dfrac{m}{2} > 0 \Leftrightarrow m > 0\) thì \({x_I} > 0 > - 2\). Suy ra \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ { - 2;0} \right]\).
Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = {m^2} - 2m.\)
Theo yêu cầu bài toán: \({m^2} - 2m = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\,\,\left( {loại} \right)\\m = 3\,\,\,\left( {thỏa mãn} \right)\end{array} \right..\)
Bảng biến thiên:
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình bên.
Khẳng định nào sau đây đúng ?
Bề lõm hướng lên nên \(a > 0.\)
Hoành độ đỉnh parabol \(x = - \dfrac{b}{{2a}} > 0\) nên \(b < 0.\)
Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên \(c > 0.\)
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình bên.
Khẳng định nào sau đây đúng ?
Bề lõm hướng lên nên \(a > 0.\)
Hoành độ đỉnh parabol \(x = - \dfrac{b}{{2a}} > 0\) nên \(b < 0.\)
Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(c < 0.\)
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng ?
Bề lõm hướng xuống nên \(a < 0.\)
Hoành độ đỉnh parabol \(x = - \dfrac{b}{{2a}} > 0\) nên \(b > 0.\)
Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(c < 0.\)
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng ?
Bề lõm hướng xuống nên \(a < 0.\)
Hoành độ đỉnh parabol \(x = - \dfrac{b}{{2a}} < 0\) nên \(b < 0.\)
Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên \(c > 0.\)
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a > 0} \right)\). Khẳng định nào sau đây là sai?
Ví dụ trường hợp đồ thị có đỉnh nằm phía trên trục hoành thì khi đó đồ thị hàm số không cắt trục hoành.
(Hoặc xét phương trình hoành độ giao điểm \(a{x^2} + bx + c = 0\), phương trình này không phải lúc nào cũng có hai nghiệm).
Xác định parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c,\) biết rằng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {1;1} \right),\) \(B\left( { - 1; - 3} \right)\) và \(O\left( {0;0} \right)\).
Gọi parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\).
Vì \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {1;1} \right),{\rm{ }}B\left( { - 1; - 3} \right),{\rm{ }}O\left( {0;0} \right)\) nên có hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1\\a - b + c = - 3\\c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\\c = 0\end{array} \right.\). Vậy \(\left( P \right):y = - {x^2} + 2x\).
Đồ thị hàm số \(y = 3{x^2} + 4x - 1\) nhận đường thẳng nào dưới đây làm trục đối xứng?
\(y = 3{x^2} + 4x - 1\) có $a=3; b=4$
=>Đồ thị hàm số \(y = 3{x^2} + 4x - 1\) nhận đường thẳng \(x = - \dfrac{4}{{2.3}} = - \dfrac{2}{3}\) làm trục đối xứng.
Tìm giao điểm của parabol \(\left( P \right):\,\,y = - {x^2} - 2x + 5\) với trục \(Oy\)
Cho $x = 0$ ta có: \(y = - {0^2} - 2.0 + 5 = 5\).
Vậy giao điểm của \((P)\) với \(Oy\) là $(0;5)$.
Toạ độ giao điểm của \(\left( P \right):y = {x^2} - 4x\) với đường thẳng \(y = - x - 2\) là:
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là:
\(\begin{array}{l}{x^2} - 4x = - x - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow y = - 3}\\{x = 2 \Rightarrow y = - 4}\end{array}} \right..\end{array}\)
Vậy toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là \(M\left( {1; - 3} \right),N\left( {2; - 4} \right)\)
