Tọa độ đỉnh của parabol \(\left( P \right):\,\,y = - {x^2} + 2x - 3\) là:
Hàm số \(\left( P \right):\,\,y = - {x^2} + 2x - 3\) có các hệ số \(a = - 1,\,\,\,b = 2,\,\,c = - 3\).
\( \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 1\) và \( - \frac{\Delta }{{4a}} = - 2\).
Vậy đỉnh của parabol là \(I\left( {1; - 2} \right)\).
Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y = {x^2} - 2x + 5\) trên đoạn \(\left[ {2;7} \right].\) Phát biểu nào sau đây đúng?
Xét hàm số \(y = {x^2} - 2x + 5\) trên \(\left[ {2;\,\,7} \right]\) ta có BBT:
Đỉnh của đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 2x + 5\) là \(I\left( {1;\,\,4} \right)\) và $1 \notin [2;7]$
Dựa vào BBT ta có: \(M = \mathop {Max}\limits_{\left[ {2;\,\,7} \right]} y = 40\) khi \(x = 7\) và \(m = \mathop {Min}\limits_{\left[ {2;\,\,7} \right]} y = 5\) khi \(x = 2.\)
\( \Rightarrow M = 8m\)
Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 4x + 1.\) Tọa độ đỉnh \(I\) của parabol \(\left( P \right)\) là
Ta có: \(\left( P \right):y = {x^2} - 4x + 1.\)
Hoành độ của đỉnh \(I\) là: \({x_I} = \dfrac{{ - b}}{{2a}} = \dfrac{4}{2} = 2\)
\( \Rightarrow {y_I} = f\left( 2 \right) = {2^2} - 4.2 + 1 = - 3\)\( \Rightarrow I\left( {2; - 3} \right)\)
Đường thẳng \(d:y = x + 3\) cắt parabol \(\left( P \right):y = 3{x^2} + 10x + 3\) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\)
\(\begin{array}{l}3{x^2} + 10x + 3 = x + 3\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 9x = 0\\ \Leftrightarrow 3x\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 3\end{array} \right.\end{array}\)
Đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây là trục đối xứng của parabol \(y = - 2{x^2} + 5x + 3.\)
Ta có:
\(\dfrac{{ - b}}{{2a}} = \dfrac{{ - 5}}{{2.( - 2)}} = \dfrac{5}{4}.\)
Trục đối xứng là đường thẳng: \(x = \dfrac{5}{4}.\)
Đỉnh $I$ của parabol $(P): y = –3x^2+ 6x – 1$ là:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{ - b}}{{2a}} = \dfrac{{ - 6}}{{2.( - 3)}} = \dfrac{{ - 6}}{{ - 6}} = 1\\\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}} = \dfrac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \dfrac{{ - {6^2} + 4.( - 3).( - 1)}}{{4.( - 3)}} = \dfrac{{ - 36 + 12}}{{ - 12}} = \dfrac{{ - 24}}{{ - 12}} = 2.\end{array}\)
Suy ra đỉnh của Parabol là: $I(1;2)$
Biết parabol $(P): y = ax^2+ 2x + 5$ đi qua điểm $A(2; 1).$ Giá trị của $a$ là:
Parabol đi qua điểm $A(2; 1)$ nên ta có:\(4a + 4 + 5 = 1 \Leftrightarrow 4a = - 8 \Leftrightarrow a = - 2\)
Đỉnh của parabol $y = x^2+ x + m$ nằm trên đường thẳng $y = \dfrac{3}{4}$ nếu $m$ bằng:
Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow \dfrac{{ - {b^2} + 4ac}}{{4a}} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1 + 4m}}{4} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow 4m = 4 \Leftrightarrow m = 1$
Bảng biến thiên của hàm số $y = –x^2+ 2x – 1$ là:
Ta có:
\(\begin{array}{l}a = - 1 < 0\,\,;\,\,\dfrac{{ - b}}{{2a}} = \dfrac{{ - 2}}{{2.( - 1)}} = \dfrac{{ - 2}}{{ - 2}} = 1\\y(1) = - {1^2} + 2.1 - 1 = 0.\end{array}\)
Suy ra bảng biến thiên:
Cho hàm số $y = f(x) = ax^2 + bx +c.$ Rút gọn biểu thức $f(x + 3) – 3f(x + 2) + 3f(x + 1) $ ta được:
Ta có:
\(f(x+3)=a(x+3)^2+b(x+3)+c\\f(x+2)=a(x+2)^2+b(x+2)+c\\f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c\)
$\Rightarrow f(x + 3) - 3f(x + 2) + 3f(x + 1)$ $= a{(x + 3)^2 } + b(x + 3) + c - 3a{(x + 2)^2} - 3b(x + 2) - 3c + 3a{(x + 1)^2} + 3b(x + 1) + 3c$ $= {x^2}(a - 3a + 3a) + x(6a + b - 12a - 3b + 6a + 3b) + (9a + 3b + c - 12a - 6b - 3c + 3a + 3b + 3c)$ $= a{x^2} + bx + c$
Tìm tọa độ giao điểm của hai parabol: \(y = \dfrac{1}{2}{x^2} - x\) và \(y = - 2{x^2} + x + \dfrac{1}{2}\) là:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol :
$\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}{x^2} - x = - 2{x^2} + x + \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 5{x^2} - 4x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow (x - 1)(5x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = \dfrac{{ - 1}}{5}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \dfrac{1}{2}{.1^2} - 1 = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1}}{5}\\y = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{{ - 1}}{5}} \right)^2} - \dfrac{{ - 1}}{5} = \dfrac{{11}}{{50}}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}$
Tọa độ giao điểm $\left( {1;\dfrac{{ - 1}}{2}} \right);\left( {\dfrac{{ - 1}}{5};\dfrac{{11}}{{50}}} \right)$
Cho hàm số \(y = - {x^2} + 2x + 1.\) Gọi $M$ và $m$ là giá trị lớn nhất vá giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[ {0;2} \right]\). Tính giá trị của biểu thức \(T = {M^2} + {m^2}.\)
Hàm số \(y = - {x^2} + 2x + 1\) có \(a = - 1 < 0\,;\,\, - \dfrac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy $M = 2$ và $m = 1$ \( \Rightarrow T = {M^2} + {m^2} = {2^2} + {1^2} = 5.\)
Hàm số nào sau đây có giá trị nhỏ nhất tại $x = \dfrac{3}{4}$?
Hàm số đạt GTNN nếu \(a > 0\) nên loại phương án B và C.
Phương án A: Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại $x = - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{3}{8}$ nên loại.
Còn lại chọn phương án D.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^2} + 4x + 2\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có \(a = - 1 < 0\) nên hàm số $y$ tăng trên \(\left( { - \infty ;\,2} \right)\)và $y$ giảm trên \(\left( {2;\, + \infty } \right)\)nên chọn phương án A.
Hàm số nào sau đây nghịch biến trong khoảng \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\)?
Đáp án A: \(a = \sqrt 2 > 0\) và \( - \dfrac{b}{{2a}} = 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
Đáp án B: \(a = - \sqrt 2 < 0\) và \( - \dfrac{b}{{2a}} = 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
Đáp án C: \(y = \sqrt 2 \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = \sqrt 2 {x^2} + 2\sqrt 2 x + \sqrt 2 \) có \(a = \sqrt 2 > 0\) và \( - \dfrac{b}{{2a}} = - 1\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) nhưng \(\left( { - \infty ;0} \right) \not\subset \left( { - \infty ; - 1} \right)\) nên hàm số không nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
Đáp án D: \(y = - \sqrt 2 \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = - \sqrt 2 {x^2} - 2\sqrt 2 x - \sqrt 2 \) có \(a = - \sqrt 2 < 0\) và \( - \dfrac{b}{{2a}} = - 1\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
Vậy chỉ có đáp án A đúng.
- Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {1;0} \right)\) nên loại A và C.
- Bề lõm hướng xuống dưới nên \(a < 0\).
Giao điểm của parabol \(\left( P \right)\): \(y = {x^2} + 5x + 4\) với trục hoành:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} + 5x + 4 = 0\).
- Phương trình có hai nghiệm \({x_1} = - 1;{x_2} = - 4\) nên các giao điểm là \(\left( { - 1;0} \right),\left( { - 4;0} \right)\).
Khi tịnh tiến parabol \(y = 2{x^2}\) sang trái $3$ đơn vị, ta được đồ thị của hàm số:
Tịnh tiến đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) sang trái \(3\) đơn vị ta được đồ thị hàm số \(y = 2.{\left( {x + 3} \right)^2}\).
Tìm giá trị thực của tham số \(m \ne 0\) để hàm số \(y = m{x^2} - 2mx - 3m - 2\) có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 10\) trên \(\mathbb{R}.\)
Ta có \(x = - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{{2m}}{{2m}} = 1\), suy ra \(y = - 4m - 2\).
Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 10\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\ - 4m - 2 = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\).
Nếu hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ có $a < 0,b > 0$ và $c > 0$ thì đồ thị của nó có dạng:
+ \(a < 0\) nên loại đáp án A,B.
+ \(c > 0\) nên giao điểm của đồ thị với trục tung có tung độ dương, chọn đáp án D.
Ngoài ra các em cũng có thể nhận xét vì \(b > 0,a < 0\) nên hoành độ đỉnh \( - \dfrac{b}{{2a}} > 0\) và đáp án D thỏa mãn.
