Hàm số bậc hai

Hàm số  $\left( P \right):\,\,y =  - {x^2} + 2x - 3$ có các hệ số $a =  - 1,\,\,\,b = 2,\,\,c =  - 3$.

$\Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{2}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 1$ và $- \frac{\Delta }{{4a}} =  - 2$.

Vậy đỉnh của parabol là $I\left( {1; - 2} \right)$.

Xét hàm số $y = {x^2} - 2x + 5$ trên $\left[ {2;\,\,7} \right]$ ta có BBT:

Đỉnh của đồ thị hàm số $y = {x^2} - 2x + 5$ là $I\left( {1;\,\,4} \right)$ và $1 \notin [2;7]$

Dựa vào BBT ta có: $M = \mathop {Max}\limits_{\left[ {2;\,\,7} \right]} y = 40$ khi $x = 7$ và $m = \mathop {Min}\limits_{\left[ {2;\,\,7} \right]} y = 5$ khi $x = 2.$

$\Rightarrow M = 8m$

Ta có: $\left( P \right):y = {x^2} - 4x + 1.$

Hoành độ của đỉnh $I$ là: ${x_I} = \dfrac{{ - b}}{{2a}} = \dfrac{4}{2} = 2$

$\Rightarrow {y_I} = f\left( 2 \right) = {2^2} - 4.2 + 1 =  - 3$$\Rightarrow I\left( {2; - 3} \right)$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $d$

$\begin{array}{l}3{x^2} + 10x + 3 = x + 3\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 9x = 0\\ \Leftrightarrow 3x\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array}$

Ta có:

$\dfrac{{ - b}}{{2a}} = \dfrac{{ - 5}}{{2.( - 2)}} = \dfrac{5}{4}.$

Trục đối xứng là đường thẳng: $x = \dfrac{5}{4}.$

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{ - b}}{{2a}} = \dfrac{{ - 6}}{{2.( - 3)}} = \dfrac{{ - 6}}{{ - 6}} = 1\\\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}} = \dfrac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \dfrac{{ - {6^2} + 4.( - 3).( - 1)}}{{4.( - 3)}} = \dfrac{{ - 36 + 12}}{{ - 12}} = \dfrac{{ - 24}}{{ - 12}} = 2.\end{array}$

Suy ra đỉnh của Parabol là: $I(1;2)$

Parabol đi qua điểm $A(2; 1)$ nên ta có:$4a + 4 + 5 = 1 \Leftrightarrow 4a =  - 8 \Leftrightarrow a =  - 2$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \dfrac{{ - {b^2} + 4ac}}{{4a}} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1 + 4m}}{4} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow 4m = 4 \Leftrightarrow m = 1$

Ta có:

$\begin{array}{l}a =  - 1 < 0\,\,;\,\,\dfrac{{ - b}}{{2a}} = \dfrac{{ - 2}}{{2.( - 1)}} = \dfrac{{ - 2}}{{ - 2}} = 1\\y(1) =  - {1^2} + 2.1 - 1 = 0.\end{array}$

Suy ra bảng biến thiên:

Ta có:

$f(x+3)=a(x+3)^2+b(x+3)+c\\f(x+2)=a(x+2)^2+b(x+2)+c\\f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c$

$\Rightarrow f(x + 3) - 3f(x + 2) + 3f(x + 1)$ $= a{(x + 3)^2 } + b(x + 3) + c - 3a{(x + 2)^2} - 3b(x + 2) - 3c + 3a{(x + 1)^2} + 3b(x + 1) + 3c$ $= {x^2}(a - 3a + 3a) + x(6a + b - 12a - 3b + 6a + 3b) + (9a + 3b + c - 12a - 6b - 3c + 3a + 3b + 3c)$ $= a{x^2} + bx + c$

Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol :

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}{x^2} - x =  - 2{x^2} + x + \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 5{x^2} - 4x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow (x - 1)(5x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = \dfrac{{ - 1}}{5}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \dfrac{1}{2}{.1^2} - 1 =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1}}{5}\\y = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{{ - 1}}{5}} \right)^2} - \dfrac{{ - 1}}{5} = \dfrac{{11}}{{50}}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}$

Tọa độ giao điểm $\left( {1;\dfrac{{ - 1}}{2}} \right);\left( {\dfrac{{ - 1}}{5};\dfrac{{11}}{{50}}} \right)$

Hàm số $y =  - {x^2} + 2x + 1$ có $a =  - 1 < 0\,;\,\, - \dfrac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;1} \right)$ và nghịch biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$.

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy $M = 2$ và $m = 1$ $\Rightarrow T = {M^2} + {m^2} = {2^2} + {1^2} = 5.$

Hàm số đạt GTNN nếu $a > 0$ nên loại phương án B và C.

Phương án A: Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại $x =  - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{3}{8}$ nên loại.

Còn lại chọn phương án D.

Ta có $a =  - 1 < 0$ nên hàm số $y$ tăng trên $\left( { - \infty ;\,2} \right)$và $y$ giảm trên $\left( {2;\, + \infty } \right)$nên chọn phương án A.

Đáp án A: $a = \sqrt 2  > 0$ và $- \dfrac{b}{{2a}} = 0$ nên hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$

Đáp án B: $a =  - \sqrt 2  < 0$ và $- \dfrac{b}{{2a}} = 0$ nên hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$

Đáp án C: $y = \sqrt 2 \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = \sqrt 2 {x^2} + 2\sqrt 2 x + \sqrt 2$ có $a = \sqrt 2  > 0$ và $- \dfrac{b}{{2a}} =  - 1$ nên hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ nhưng $\left( { - \infty ;0} \right) \not\subset \left( { - \infty ; - 1} \right)$ nên hàm số không nghịch biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$

Đáp án D: $y =  - \sqrt 2 \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) =  - \sqrt 2 {x^2} - 2\sqrt 2 x - \sqrt 2$ có $a =  - \sqrt 2  < 0$ và $- \dfrac{b}{{2a}} =  - 1$ nên hàm số nghịch biến trên $\left( { - 1; + \infty } \right)$

Vậy chỉ có đáp án A đúng.

- Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {1;0} \right)$ nên loại A và C.

- Bề lõm hướng xuống dưới nên $a < 0$.

- Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} + 5x + 4 = 0$.

- Phương trình có hai nghiệm ${x_1} =  - 1;{x_2} =  - 4$ nên các giao điểm là $\left( { - 1;0} \right),\left( { - 4;0} \right)$.

Tịnh tiến đồ thị hàm số $y = 2{x^2}$ sang trái $3$ đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = 2.{\left( {x + 3} \right)^2}$.

Ta có $x =  - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{{2m}}{{2m}} = 1$, suy ra $y =  - 4m - 2$.

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $- 10$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\ - 4m - 2 =  - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2$.

+ $a < 0$ nên loại đáp án A,B.

+ $c > 0$ nên giao điểm của đồ thị với trục tung có tung độ dương, chọn đáp án D.

Ngoài ra các em cũng có thể nhận xét vì $b > 0,a < 0$ nên hoành độ đỉnh $- \dfrac{b}{{2a}} > 0$ và đáp án D thỏa mãn.