Hàm số bậc hai

- Ta có \(a =  - 3 < 0\) và \(x =  - \dfrac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow I(1,2)\)

- Đường thẳng \(x = 1\) là trục đối xứng.

- Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) \( \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y =  - 1\) .

- Parabol $\left( P \right)$cắt $Ox$ tại $A\left( {1;0} \right),{\rm{ }}B\left( {2;0} \right)$.

- Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}A \in \left( P \right)\\B \in \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + 2 = 0\\4a + 2b + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b =  - 2\\2a + b =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 3\end{array} \right.$

Vậy $\left( P \right):y = {x^2} - 3x + 2$.

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a < 0} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\)

Nên A, B sai.

Ta chưa kết luận được gì về số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành nên C sai.

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x =  - \dfrac{b}{{2a}}\) nên D đúng.

Đáp án A: \({1^2} + 4.1 - 2 = 3 \ne  - 3 \Rightarrow \left( {1; - 3} \right)\) không thuộc \(\left( P \right)\).

Đáp án B: \({3^2} + 4.3 - 2 = 19 \ne 18 \Rightarrow \left( {3;18} \right)\) không thuộc \(\left( P \right)\).

Đáp án C: \({\left( { - 2} \right)^2} + 4.\left( { - 2} \right) - 2 =  - 6 \Rightarrow \left( { - 2; - 6} \right)\) thuộc \(\left( P \right)\).

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c,\,\,a \ne 0\) là hàm số bậc 2 nên có đỉnh \(I\left( {\dfrac{{ - b}}{{2a}};\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\)

Vì hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R}\) bằng 4 khi \(x =  - 1\) nên đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( { - 1;4} \right)\) và \(a < 0.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - b}}{{2a}} =  - 1\\f\left( { - 1} \right) = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2a\\a - b + c = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2a\\a - 2a + c = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2a\\c = 4 + a\end{array} \right.\)

Xét phương trình: \(y = 0\) \( \Leftrightarrow a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1};\,\,{x_2}\) \( \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac > 0.\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = 10 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - \dfrac{b}{a}} \right)^2} - \dfrac{{2c}}{a} = 10\\ \Leftrightarrow {\left( { - \dfrac{{2a}}{a}} \right)^2} - \dfrac{{2c}}{a} = 10\\ \Leftrightarrow 4a - 2c = 10a\\ \Leftrightarrow 6a + 2c = 0\\ \Leftrightarrow 6a + 2\left( {4 + a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 6a + 2a + 8 = 0\\ \Leftrightarrow a =  - 1\,\,\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2\\c = 3\end{array} \right..\\ \Rightarrow y =  - {x^2} - 2x + 3.\end{array}\)

Vì vận tốc \(v\,\,\left( {km/h} \right)\) phụ thuộc thời gian \(t\,\,\left( h \right)\) có đồ thị là một phần của parabol nên ta có hàm số \(v =f(t)= a{t^2} + bt + c\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: tại thời điểm \(t = 0\), \(v = 4\)\(\Rightarrow a.0^2+b.0+c=4 \Rightarrow c = 4\)

Đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( {2;9} \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - b}}{{2a}} = 2\\f\left( 2 \right) = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 4a\\a{.2^2} + b.2 + 4 = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + b = 0\\4a + 2b = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{ - 5}}{4}\\b = 5\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow v =  - \dfrac{5}{4}{t^2} + 5t + 4\)

Tại lúc 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ vận tốc đạt được là:

\(v\left( {2,5} \right) = \dfrac{{ - 5}}{4}.2,{5^2} + 5.2,5 + 4\)\( = 8,6875\,\,\left( {km/h} \right) \approx 8,7\,\,\left( {km/h} \right)\)

Hàm số \(y = 2{x^2} - mx + m\) đồng biến trên \(\left( {\dfrac{m}{4}; + \infty } \right)\) nên để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì \(\left( {1; + \infty } \right) \subset \left( {\dfrac{m}{4}; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{m}{4} \le 1 \Leftrightarrow m \le 4\).

Vậy \(m \in \left( { - \infty ;4} \right]\).

Ta có \(h\left( t \right) = 3 + 10t - 2{t^2}\) có đồ thị là parabol có bề lõm hướng xuống, đạt GTLN tại \(t = \dfrac{{ - 10}}{{2.\left( { - 2} \right)}} = \dfrac{5}{2}\).

Vậy \(\max h\left( t \right) = h\left( {\dfrac{5}{2}} \right) = \dfrac{{31}}{2}\,\,\left( m \right)\).

Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) đạt cực đại bằng \(4\) khi \(x =  - 2 \Rightarrow \) parabol  có đỉnh  \(I\left( { - 2;4} \right)\)

Lại có parabol đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\) nên ta có:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a - 2b + c = 4}\\\begin{array}{l}c = 6\\ - \dfrac{b}{{2a}} =  - 2\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \dfrac{1}{2}}\\{b = 2}\\{c = 6}\end{array}} \right.} \right.\) .

Vậy parabol đã cho có hàm số: \(y = \dfrac{1}{2}{x^2} + 2x + 6.\)

Đồ thị hàm số \(y =  - {x^2} + 4x - 1\) có đỉnh \(I\left( {2;3} \right)\) và có hệ số \(a < 0\,\,\, \Rightarrow \) Hàm số đạt GTLN bằng 3 khi \(x = 2\).

Bước 1: Xác định hệ số $a$

Ta có $a=-1<0$

Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại \(x =  - {b \over {2a}} =  1\).

Bước 2: Tìm giá trị của hàm số tại $x=-\dfrac{b}{2a}$, tìm $m$.

Khi đó \(Maxy = f\left( 1 \right) = m - 4\).

Để \(Maxy = 6\) thì \(m - 4 = 6 \Leftrightarrow m = 10\).

Bước 1:

Xét hàm số \(y = {x^2} - 2x + 5\) trên \(\left[ {2;\,\,7} \right]\) ta có BBT:

Đỉnh của đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 2x + 5\) là \(I\left( {1;\,\,4} \right)\)

Ta thấy $1 \notin [2;7]$. Ta lập bảng biến thiên:

Bước 2:

Dựa vào BBT ta có: \(M = \mathop {Max}\limits_{\left[ {2;\,\,7} \right]} y = 40\) khi \(x = 7\) và \(m = \mathop {Min}\limits_{\left[ {2;\,\,7} \right]} y = 5\) khi \(x = 2.\)

\( \Rightarrow M = 8m\)