Phương trình đường tròn

+) Xét phương trình: $7{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 5 = 0$ có hệ số của ${x^2}$ và hệ số của ${y^2}$ khác nhau nên không là phương trình đường tròn.

+) Xét phương trình: $4{x^2} + 4{y^2} - 2xy + 7y + 5 = 0$ có đại lượng $xy$ đây không là phương trình đường tròn.

+) Xét phương trình: ${x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 11 = 0$ có:  $a=1,\,b=-3,\,c=11$. Ta thấy ${1^2} + {\left( { - 3} \right)^2} - 11 < 0 \Rightarrow$ đây là không phương trình đường tròn.

+) Xét phương trình: ${x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 11 = 0$ có:  $a=1,\,b=-3,\,c=-11$. Ta thấy ${1^2} + {\left( { - 3} \right)^2} + 11 > 0 \Rightarrow$ đây là phương trình đường tròn.

Bán kính đường tròn $\left( {{C_m}} \right)$ là: $R = \sqrt {9 + {m^2}}  \ge 3$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của bán kính đường tròn $\left( {{C_m}} \right)$ bằng 3 đạt được khi $m = 0$.

Ta có: ${4^2} + {\left( { - 1} \right)^2} - 2.4 + 10.\left( { - 1} \right) + 1 = 0$

Vậy điểm $N\left( {4; - 1} \right) \in \left( C \right)$

Phương trình đường tròn $(C)$ có tâm $I\left( {2; - 3} \right)$ và có bán kính $R = 4$ là ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16$ 

Đường tròn $\left( C \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 25$ có tâm $I\left( {2;1} \right)$, bán kính $R = \sqrt {25}  = 5$

Đáp án A: Đường tròn ${x^2} + {y^2} - 4x + 7y - 8 = 0$ có $a = 2,b =  - \dfrac{7}{2}$. Loại

Đáp án  B: Đường tròn ${x^2} + {y^2} + 2x - 20 = 0$ có $a =  - 1,b = 0$. Loại

Đáp án C: Đường tròn ${x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 9 = 0$ có $a = 3,b = 1$. Loại

Đáp án D: Đường tròn ${x^2} + {y^2} - 2x + 6y = 0$ có $a = 1,b =  - 3$  nên có tâm $I\left( {1; - 3} \right)$

Vậy  ${x^2} + {y^2} - 2x + 6y = 0$ là phương trình cần tìm.

Gọi  I  là trung điểm của AB $\Rightarrow I\left( {3; - 2} \right)$

$\Rightarrow R = IA = \sqrt {{{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 1} \right)}^2}}  = \sqrt 2$

Vì đường tròn đường kính AB $\Rightarrow$ Đường tròn có tâm $I\left( {3; - 2} \right)$ và  bán kính $R = IA = \sqrt 2$

$\Rightarrow$ Phương trình đường tròn: ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2$$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x + 4y + 11 = 0$

Đáp án A: ${x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 9 = 0$  có $a = 1,b =  - 2,c = 9$$\Rightarrow {a^2} + {b^2} - 9 = 1 + 4 - 9 =  - 4 < 0$

=> Phương trình ${x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 9 = 0$  không là phương trình đường tròn.

Đáp án B: $2{x^2} + 2{y^2}+ 4x-8y+19=0$ có $a=-1,b=2,c=\dfrac{19}{2}=>(-1)^2+2^2-\dfrac{19}{2}<0$

=> Phương trình $2{x^2} + 2{y^2} + 4x - 8y + 19 = 0$ không là phương trình đường tròn.

Đáp án C: ${x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 15 = 0$ có $a = 1,b =  - 3,c =  - 15 \Rightarrow {1^2} + {\left( { - 3} \right)^2} + 15 > 0$

=> Phương trình ${x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 15 = 0$ là phương trình đường tròn.

Đáp án D: ${x^2} + {y^2} + 4y - 6y + 13 = 0$ có $a =  - 2,b = 3,c = 13 \Rightarrow {\left( { - 2} \right)^2} + {3^2} - 13 = 0$

=> Phương trình ${x^2} + {y^2} + 4y - 6y + 13 = 0$ không là phương trình đường tròn.

Vậy phương trình ${x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 15 = 0$ là phương trình đường tròn.

Đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 1 = 0$ có bán kính $R = \sqrt {{2^2} + {1^2} + 1}  = \sqrt 6$

Chọn A.

Gọi $\left( C \right)$ là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có tâm I  bán kính R

$\Rightarrow$ I  là trung điểm của AC ; $R = \dfrac{1}{2}AC$

$\Rightarrow I\left( {0;1} \right);\,\,{R^2} = \dfrac{1}{4}A{C^2} = \dfrac{1}{4}\left[ {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \right] = \dfrac{1}{4}.20 = 5.$

Phương trình $\left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5$ 

Thử các đáp án ta ta thấy phương trình ${x^2} + {y^2} + 2x - 8 = 0$ là phương trình đường tròn.

Gọi phương trình đường tròn $\left( C \right)$ ngoại tiếp tam giác ABC có dạng: ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$

Vì 3 điểm $A,B,C \in \left( C \right)$ nên ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}{14^2} + {7^2} - 28a - 14b + c = 0\\{11^2} + {8^2} - 22a - 16b + c = 0\\{13^2} + {8^2} - 26a - 16b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 28a - 14b + c =  - 245\\ - 22a - 16b + c =  - 185\\ - 26a - 16b + c =  - 233\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 12\\b = 6\\c = 175\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left( C \right):{x^2} + {y^2} - 24x - 12y + 175 = 0$

$\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 8x + 6y + 9 = 0$

Ta có: $a =  - 4;\,\,b =  - 3;\,\,c = 9$

$\Rightarrow \left( C \right)$ có tâm $I\left( { - 4; - 3} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{4^2} + {3^2} - 9}  = 4.$

$\Rightarrow$ A và B đúng.

Thay $x =  - 1,y = 0$ vào $\left( C \right)$ ta được: ${x^2} + {y^2} + 8x + 6y + 9 = 2 \ne 0$ nên $M\left( { - 1;0} \right) \notin \left( C \right).$

Đường tròn ${\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} = {R^2}$ có tâm $I\left( { - a; - b} \right)$ và bán kính $R$.

Đường tròn ${x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0$ có tâm $I\left( { - a; - b} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}$.

Ta có ${x^2} + {y^2} - 10x - 11 = 0$$\Leftrightarrow {x^2} - 10x + 25 + {y^2} - 36 = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} + {y^2} = 36$$\Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} + {y^2} = {6^2}$

Vậy bán kính đường tròn $R = 6$.

${x^2} + {y^2} - 5y = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{5}{2}} \right)^2} + {y^2} = \dfrac{{25}}{4}$

Vậy đường tròn có bán kính $R = \dfrac{5}{2}.$

$\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16$ $\Rightarrow I\left( {1; - 3} \right),R = \sqrt {16}  = 4$

$\left( C \right):{x^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 5$ $\Rightarrow I\left( {0; - 4} \right),R = \sqrt 5$

$\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 8$ $\Rightarrow I\left( { - 1;0} \right),R = \sqrt 8  = 2\sqrt 2$