Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) dương. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?
Vì \(a,\,\,b,\,\,c > 0\) nên \(\dfrac{1}{a},\,\,\dfrac{1}{b},\,\,\dfrac{1}{c} > 0\).
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:
\(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\dfrac{1}{a},\,\,\dfrac{1}{b},\,\,\dfrac{1}{c}\) ta có:
\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{abc}}}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{abc}}}}\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 3.3\sqrt[3]{{\dfrac{{abc}}{{abc}}}}\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 9\end{array}\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).
Điều kiện của \(x\) để biểu thức \(B = \left| {x - 2} \right| + \left| {x - 3} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất là
Ta có:
\(B = \left| {x - 2} \right| + \left| {x - 3} \right| = \left| {x - 2} \right| + \left| {3 - x} \right|\)
Áp dụng bất đẳng thức dấu giá trị tuyệt đối ta có:
\(\begin{array}{l}\left| {x - 2} \right| + \left| {3 - x} \right| \ge \left| {x - 2 + 3 - x} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x - 2} \right| + \left| {3 - x} \right| \ge 1\end{array}\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow 2 \le x \le 3\).
Vậy \(\min B = 1 \Leftrightarrow 2 \le x \le 3\).
Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác. Mệnh đề nào sau đây không đúng?
Vì \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác nên \(a > 0,\,\,b > 0,\,\,c > 0\).
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b > c\\a + c > b\\b + c > a\end{array} \right.\)
+) Xét \({a^2} < ab + ac\)\( \Leftrightarrow {a^2} < a\left( {b + c} \right)\) \( \Leftrightarrow a < b + c\,\,\,\,\left( {tm} \right)\)
\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.
+) Xét \(ab + bc > {b^2}\) \( \Leftrightarrow b\left( {a + c} \right) > {b^2}\)\( \Leftrightarrow a + c > b\,\,\,\left( {tm} \right)\)
\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.
+) Xét \(b{}^2 + {c^2} < {a^2} + 2bc\)\( \Leftrightarrow b{}^2 + {c^2} - 2bc < {a^2}\)\( \Leftrightarrow {\left( {b - c} \right)^2} < {a^2}\)
\( \Leftrightarrow (b - c - a)(b-c+a)<0 \left( {tm} \right)\)
\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.
+) Xét \(b{}^2 + {c^2} > {a^2} + 2bc\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow b{}^2 + {c^2} - 2bc > {a^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {b - c} \right)^2} > {a^2}\\ \Leftrightarrow |b - c| > a\left( {ktm} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Đáp án D sai.
Giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = \dfrac{{{x^4} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\) là
Với mọi \(x \in \mathbb{R}\) ta có: \(\left. \begin{array}{l}{x^4} + 1 > 0\\{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} > 0\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow A = \dfrac{{{x^4} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} > 0\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{A} = \dfrac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}{{{x^4} + 1}}= \dfrac{{{x^4} + 2{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}\\\,= 1 + \dfrac{{2{x^2}}}{{{x^4} + 1}}\end{array}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} \ge 0\\{x^4} + 1 > 0\end{array} \right.\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{2{x^2}}}{{{x^4} + 1}} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\( \Rightarrow 1 + \dfrac{{2{x^2}}}{{{x^4} + 1}} \ge 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\(\min \dfrac{1}{A} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)
Vậy \(\max A = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
Cho \(x - y = \sqrt 3 \), giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {x - 6} \right| + \left| {y + 1} \right|\) có dạng \({P_{\min }} = a\sqrt 3 + b\) trong đó \(a,\,\,b\) là số nguyên. Tính giá trị của biểu thức \(S = {a^2} - {b^3}\).
Ta có:
\(P = \left| {x - 6} \right| + \left| {y + 1} \right| = \left| {x - 6} \right| + \left| { - y - 1} \right|\)
Áp dụng bất đẳng thức dấu giá trị tuyệt đối ta có:
\(\begin{array}{l}\left| {x - 6} \right| + \left| { - y - 1} \right| \ge \left| {x - 6 - y - 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x - 6} \right| + \left| { - y - 1} \right| \ge \left| {\left( {x - y} \right) - 7} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x - 6} \right| + \left| { - y - 1} \right| \ge \left| {7 - \left( {x - y} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x - 6} \right| + \left| { - y - 1} \right| \ge 7 - \sqrt[{}]{3}\end{array}\)
\( \Rightarrow \min P = 7 - \sqrt 3 \)
Theo đề bài ta có: \(\min P = a\sqrt 3 + b\)
Suy ra \(a = - 1,\,\,b = 7\).
Với \(a = - 1,\,\,b = 7\) thì giá trị của biểu thức \(S = {a^2} - {b^3}\) là: \(S = {\left( { - 1} \right)^2} - {7^3} = - 342\)
Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a - 4b = 4\). Tính \(P = a + 2b + 3c\) khi biểu thức \(\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\) đạt giá trị lớn nhất.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a - 4b = 4\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 1 + {b^2} - 4b + 4 + {c^2} = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {c^2} = 9\end{array}\)
\(\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\)\( = \left| {2a - 2 + b - 2 - 2c + 11} \right|\)\( = \left| {2\left( {a - 1} \right) + \left( {b - 2} \right) + \left( { - 2} \right)c + 11} \right|\)
\(\begin{array}{l}\, \Rightarrow \left| {2a + b - 2c + 7} \right| \le \left| {2\left( {a - 1} \right) + \left( {b - 2} \right) + \left( { - 2} \right)c} \right| + 11\\\, \Leftrightarrow \,\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\, \le \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} + 11\\\, \Leftrightarrow \,\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\,\, \le \sqrt 9 .\sqrt 9 + 11\\ \Leftrightarrow \,\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\, \le 20\end{array}\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b - 2}}{1} = \frac{c}{{ - 2}} \ge 0\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {c^2} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 3\\c = - 2\end{array} \right.\)
Với \(a = 3,\,\,b = 3,\,\,c = - 2\) giá trị của biểu thức \(P = a + 2b + 3c\) là:
\(P = a + 2b + 3c = 3 + 2.3 + 3.\left( { - 2} \right) = 3\)
Với \(a > b > 0\) ta có: \(\dfrac{a}{{a + 1}} < \dfrac{b}{{b + 1}} \Leftrightarrow a\left( {b + 1} \right) < b\left( {a + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow ab + a > ab + b \Leftrightarrow a < b,\) vô lý.
Với \(0 < x < 2.\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\left( {a,b,x,y > 0} \right),\) dấu bằng xảy ra khi \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}.\)
\(y = \dfrac{9}{x} + \dfrac{4}{{2 - x}} = \dfrac{{{3^2}}}{x} + \dfrac{{{2^2}}}{{2 - x}} \ge \dfrac{{{{\left( {3 + 2} \right)}^2}}}{{x + 2 - x}} = \dfrac{{25}}{2}.\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\dfrac{3}{x} = \dfrac{2}{{2 - x}} \Leftrightarrow 6 - 3x = 2x \Leftrightarrow x = \dfrac{6}{5} \Rightarrow a = 6,b = 5.\)
Vậy \(a + b = 11.\)
Một nhà máy sản xuất bia xây dựng một hệ thống gồm các dây chuyền rửa vỏ chai bia tự động được giám sát và vận hành bởi một công nhân vởi chi phí là 14 Euro/giờ. Mỗi dây chuyền trong một giờ có thể sục rửa được 350 vỏ chai bia và chi phí cài đặt một dây chuyền là 48 Euro. Mỗi đợt, hệ thông cần sục rửa 30000 vỏ chai bia thì để tốn ít chi phi nhất, nhà máy cần sử dụng số dây chuyền là
Gọi số dây chuyền cần dùng là: \(x\left( {x \in {N^*}} \right)\)
Thời gian để sục rửa 30 000 vỏ chai của x dây chuyền là:
\(t = \dfrac{{30000}}{{350x}} = \dfrac{{600}}{{7x}}\)
Tổng chi phí sử dụng là:
\(T = 14t + 48x = 14 \cdot \dfrac{{600}}{{7x}} + 48x = \dfrac{{1200}}{x} + 48x\)
=> $T\ge 2 \sqrt{\dfrac{1200}{x}.48x}=480$
Dấu "=" " xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{1280}}{x} = 48x\) \( \Leftrightarrow x = 5\).
Vậy nhà máy cần sử dụng 5 dây chuyền để tốn ít chi phí nhất.
