Bất đẳng thức

Vì $a,\,\,b,\,\,c > 0$ nên $\dfrac{1}{a},\,\,\dfrac{1}{b},\,\,\dfrac{1}{c} > 0$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương $a,\,\,b,\,\,c$ ta có:

$a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương $\dfrac{1}{a},\,\,\dfrac{1}{b},\,\,\dfrac{1}{c}$ ta có:

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{abc}}}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{abc}}}}\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 3.3\sqrt[3]{{\dfrac{{abc}}{{abc}}}}\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 9\end{array}$

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$.

Ta có:

$B = \left| {x - 2} \right| + \left| {x - 3} \right| = \left| {x - 2} \right| + \left| {3 - x} \right|$

Áp dụng bất đẳng thức dấu giá trị tuyệt đối ta có:

$\begin{array}{l}\left| {x - 2} \right| + \left| {3 - x} \right| \ge \left| {x - 2 + 3 - x} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x - 2} \right| + \left| {3 - x} \right| \ge 1\end{array}$

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $\left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right) \ge 0$$\Leftrightarrow 2 \le x \le 3$.

Vậy $\min B = 1 \Leftrightarrow 2 \le x \le 3$.

Vì $a,\,\,b,\,\,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác nên $a > 0,\,\,b > 0,\,\,c > 0$.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a + b > c\\a + c > b\\b + c > a\end{array} \right.$

+) Xét ${a^2} < ab + ac$$\Leftrightarrow {a^2} < a\left( {b + c} \right)$ $\Leftrightarrow a < b + c\,\,\,\,\left( {tm} \right)$

$\Rightarrow$ Đáp án A đúng.

+) Xét $ab + bc > {b^2}$ $\Leftrightarrow b\left( {a + c} \right) > {b^2}$$\Leftrightarrow a + c > b\,\,\,\left( {tm} \right)$

$\Rightarrow$ Đáp án B đúng.

+) Xét $b{}^2 + {c^2} < {a^2} + 2bc$$\Leftrightarrow b{}^2 + {c^2} - 2bc < {a^2}$$\Leftrightarrow {\left( {b - c} \right)^2} < {a^2}$

$\Leftrightarrow (b - c - a)(b-c+a)<0 \left( {tm} \right)$

$\Rightarrow$ Đáp án C đúng.

+) Xét $b{}^2 + {c^2} > {a^2} + 2bc$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow b{}^2 + {c^2} - 2bc > {a^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {b - c} \right)^2} > {a^2}\\ \Leftrightarrow |b - c| > a\left( {ktm} \right)\end{array}$

$\Rightarrow$ Đáp án D sai.

Với mọi $x \in \mathbb{R}$ ta có: $\left. \begin{array}{l}{x^4} + 1 > 0\\{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} > 0\end{array} \right\}$$\Rightarrow A = \dfrac{{{x^4} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} > 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{A} = \dfrac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}{{{x^4} + 1}}= \dfrac{{{x^4} + 2{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}\\\,= 1 + \dfrac{{2{x^2}}}{{{x^4} + 1}}\end{array}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} \ge 0\\{x^4} + 1 > 0\end{array} \right.$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow \dfrac{{2{x^2}}}{{{x^4} + 1}} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow 1 + \dfrac{{2{x^2}}}{{{x^4} + 1}} \ge 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\min \dfrac{1}{A} = 1 \Leftrightarrow x = 0$

Vậy $\max A = 1 \Leftrightarrow x = 0$.

Ta có:

$P = \left| {x - 6} \right| + \left| {y + 1} \right| = \left| {x - 6} \right| + \left| { - y - 1} \right|$

Áp dụng bất đẳng thức dấu giá trị tuyệt đối ta có:

$\begin{array}{l}\left| {x - 6} \right| + \left| { - y - 1} \right| \ge \left| {x - 6 - y - 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x - 6} \right| + \left| { - y - 1} \right| \ge \left| {\left( {x - y} \right) - 7} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x - 6} \right| + \left| { - y - 1} \right| \ge \left| {7 - \left( {x - y} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x - 6} \right| + \left| { - y - 1} \right| \ge 7 - \sqrt[{}]{3}\end{array}$

$\Rightarrow \min P = 7 - \sqrt 3$

Theo đề bài ta có: $\min P = a\sqrt 3  + b$

Suy ra $a =  - 1,\,\,b = 7$.

Với $a =  - 1,\,\,b = 7$ thì giá trị của biểu thức $S = {a^2} - {b^3}$ là: $S = {\left( { - 1} \right)^2} - {7^3} =  - 342$

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a - 4b = 4\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 1 + {b^2} - 4b + 4 + {c^2} = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {c^2} = 9\end{array}$

$\left| {2a + b - 2c + 7} \right|$$= \left| {2a - 2 + b - 2 - 2c + 11} \right|$$= \left| {2\left( {a - 1} \right) + \left( {b - 2} \right) + \left( { - 2} \right)c + 11} \right|$

$\begin{array}{l}\, \Rightarrow \left| {2a + b - 2c + 7} \right| \le \left| {2\left( {a - 1} \right) + \left( {b - 2} \right) + \left( { - 2} \right)c} \right| + 11\\\, \Leftrightarrow \,\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\, \le \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  + 11\\\, \Leftrightarrow \,\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\,\, \le \sqrt 9 .\sqrt 9  + 11\\ \Leftrightarrow \,\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\, \le 20\end{array}$

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b - 2}}{1} = \frac{c}{{ - 2}} \ge 0\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {c^2} = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 3\\c =  - 2\end{array} \right.$

Với $a = 3,\,\,b = 3,\,\,c =  - 2$ giá trị của biểu thức $P = a + 2b + 3c$ là:

$P = a + 2b + 3c = 3 + 2.3 + 3.\left( { - 2} \right) = 3$

Với $a > b > 0$ ta có: $\dfrac{a}{{a + 1}} < \dfrac{b}{{b + 1}} \Leftrightarrow a\left( {b + 1} \right) < b\left( {a + 1} \right)$$\Leftrightarrow ab + a > ab + b \Leftrightarrow a < b,$ vô lý.

Với $0 < x < 2.$

Áp dụng bất đẳng thức $\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\left( {a,b,x,y > 0} \right),$ dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}.$

$y = \dfrac{9}{x} + \dfrac{4}{{2 - x}} = \dfrac{{{3^2}}}{x} + \dfrac{{{2^2}}}{{2 - x}} \ge \dfrac{{{{\left( {3 + 2} \right)}^2}}}{{x + 2 - x}} = \dfrac{{25}}{2}.$

Dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{3}{x} = \dfrac{2}{{2 - x}} \Leftrightarrow 6 - 3x = 2x \Leftrightarrow x = \dfrac{6}{5} \Rightarrow a = 6,b = 5.$

Vậy $a + b = 11.$

Gọi số dây chuyền cần dùng là: $x\left( {x \in {N^*}} \right)$

Thời gian để sục rửa 30 000 vỏ chai của x dây chuyền là:

$t = \dfrac{{30000}}{{350x}} = \dfrac{{600}}{{7x}}$

Tổng chi phí sử dụng là:

$T = 14t + 48x = 14 \cdot \dfrac{{600}}{{7x}} + 48x = \dfrac{{1200}}{x} + 48x$

=> $T\ge 2 \sqrt{\dfrac{1200}{x}.48x}=480$

Dấu "=" " xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{{1280}}{x} = 48x$ $\Leftrightarrow x = 5$.

Vậy nhà máy cần sử dụng 5 dây chuyền để tốn ít chi phí nhất.