Cho \(x - y = \sqrt 3 \), giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {x - 6} \right| + \left| {y + 1} \right|\) có dạng \({P_{\min }} = a\sqrt 3  + b\) trong đó \(a,\,\,b\) là số nguyên. Tính giá trị của biểu thức \(S = {a^2} - {b^3}\).

Ta có:

\(P = \left| {x - 6} \right| + \left| {y + 1} \right| = \left| {x - 6} \right| + \left| { - y - 1} \right|\)

Áp dụng bất đẳng thức dấu giá trị tuyệt đối ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {x - 6} \right| + \left| { - y - 1} \right| \ge \left| {x - 6 - y - 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x - 6} \right| + \left| { - y - 1} \right| \ge \left| {\left( {x - y} \right) - 7} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x - 6} \right| + \left| { - y - 1} \right| \ge \left| {7 - \left( {x - y} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x - 6} \right| + \left| { - y - 1} \right| \ge 7 - \sqrt[{}]{3}\end{array}\)

\( \Rightarrow \min P = 7 - \sqrt 3 \)

Theo đề bài ta có: \(\min P = a\sqrt 3  + b\)

Suy ra \(a =  - 1,\,\,b = 7\).

Với \(a =  - 1,\,\,b = 7\) thì giá trị của biểu thức \(S = {a^2} - {b^3}\) là: \(S = {\left( { - 1} \right)^2} - {7^3} =  - 342\)