Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a - 4b = 4\). Tính \(P = a + 2b + 3c\) khi biểu thức \(\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a - 4b = 4\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 1 + {b^2} - 4b + 4 + {c^2} = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {c^2} = 9\end{array}\)

\(\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\)\( = \left| {2a - 2 + b - 2 - 2c + 11} \right|\)\( = \left| {2\left( {a - 1} \right) + \left( {b - 2} \right) + \left( { - 2} \right)c + 11} \right|\)

\(\begin{array}{l}\, \Rightarrow \left| {2a + b - 2c + 7} \right| \le \left| {2\left( {a - 1} \right) + \left( {b - 2} \right) + \left( { - 2} \right)c} \right| + 11\\\, \Leftrightarrow \,\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\, \le \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  + 11\\\, \Leftrightarrow \,\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\,\, \le \sqrt 9 .\sqrt 9  + 11\\ \Leftrightarrow \,\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\, \le 20\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b - 2}}{1} = \frac{c}{{ - 2}} \ge 0\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {c^2} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 3\\c =  - 2\end{array} \right.\)

Với \(a = 3,\,\,b = 3,\,\,c =  - 2\) giá trị của biểu thức \(P = a + 2b + 3c\) là:

\(P = a + 2b + 3c = 3 + 2.3 + 3.\left( { - 2} \right) = 3\)