Cho $a,\,\,b,\,\,c$ dương. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?

Vì $a,\,\,b,\,\,c > 0$ nên $\dfrac{1}{a},\,\,\dfrac{1}{b},\,\,\dfrac{1}{c} > 0$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương $a,\,\,b,\,\,c$ ta có:

$a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương $\dfrac{1}{a},\,\,\dfrac{1}{b},\,\,\dfrac{1}{c}$ ta có:

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{abc}}}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{abc}}}}\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 3.3\sqrt[3]{{\dfrac{{abc}}{{abc}}}}\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 9\end{array}$

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$.