Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) dương. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?

Vì \(a,\,\,b,\,\,c > 0\) nên \(\dfrac{1}{a},\,\,\dfrac{1}{b},\,\,\dfrac{1}{c} > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:

\(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\dfrac{1}{a},\,\,\dfrac{1}{b},\,\,\dfrac{1}{c}\) ta có:

\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{abc}}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{abc}}}}\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 3.3\sqrt[3]{{\dfrac{{abc}}{{abc}}}}\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 9\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).