Câu hỏi:
2 năm trước
Hàm số \(y = \dfrac{9}{x} + \dfrac{4}{{2 - x}}\) với \(0 < x < 2\), đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \dfrac{a}{b}\) (\(a,b\) nguyên dương, phân số \(\dfrac{a}{b}\) tối giản). Khi đó \(a + b\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Với \(0 < x < 2.\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\left( {a,b,x,y > 0} \right),\) dấu bằng xảy ra khi \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}.\)
\(y = \dfrac{9}{x} + \dfrac{4}{{2 - x}} = \dfrac{{{3^2}}}{x} + \dfrac{{{2^2}}}{{2 - x}} \ge \dfrac{{{{\left( {3 + 2} \right)}^2}}}{{x + 2 - x}} = \dfrac{{25}}{2}.\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\dfrac{3}{x} = \dfrac{2}{{2 - x}} \Leftrightarrow 6 - 3x = 2x \Leftrightarrow x = \dfrac{6}{5} \Rightarrow a = 6,b = 5.\)
Vậy \(a + b = 11.\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwazr dạng Engel hay bất đẳng thức Schwarz: \(\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\left( {a,b,x,y > 0} \right)\).
Câu hỏi khác
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất đẳng thức toán 10 có lời giải
- Bài tập dấu của nhị thức bậc nhất toán 10 có lời giải
- Bài tập đại cương về bất phương trình toán 10 có lời giải
