Phương trình đường tròn

\(I\left( {0;a} \right) \to IA = IB\) \( \Leftrightarrow {1^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = {3^2} + {\left( {a - 5} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow 1 + {a^2} - 2a + 1 = 9 + {a^2} - 10a + 25\)

\( \Leftrightarrow 8a - 32 = 0 \Leftrightarrow a = 4\) \( \to \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\I\left( {0;4} \right)\\{R^2} = 10\end{array} \right.\)

Vậy đường tròn cần tìm là: \({x^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 10\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 8y + 6 = 0\)

Ta có: \(I \in \Delta  \to I\left( {a;3a + 10} \right) \to IA = IB = R\)

             \( \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {3a + 8} \right)^2} = {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {3a + 7} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + 2a + 1 + 9{a^2} + 48a + 64 = {a^2} + 4a + 4 + 9{a^2} + 42a + 49\)

\( \Leftrightarrow 4a + 12 = 0 \Leftrightarrow a =  - 3\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\I\left( { - 3;1} \right)\\{R^2} = 5\end{array} \right.\)

Vậy đường tròn cần tìm là: \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5.\)

Gọi I(x;y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì IA = IB = IC.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 6 - x} \right)^2} + {\left( { - y} \right)^2} = {\left( { - x} \right)^2} + {\left( {2 - y} \right)^2}\\{\left( { - 6 - x} \right)^2} + {\left( { - y} \right)^2} = {\left( { - 6 - x} \right)^2} + {\left( {2 - y} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 12x + 36 + {y^2} = {x^2} + {y^2} - 4y + 4\\{y^2} = {y^2} - 4y + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12x + 4y =  - 32\\ - 4y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy I(-3;1). 

Gọi phương trình đường tròn ${x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0$. Khi đó,

$A,B,C \in \left( C \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}20 - 4a + 8b + c = 0\\50 + 10a + 10b + c = 0\\40 + 12a - 4b + c = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 1\\c =  - 20\end{array} \right.$

Vậy \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 20 = 0.\)

Gọi phương trình đường tròn ${x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0$. Khi đó,

$A,B,C \in \left( C \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 + 2a - 4b + c = 0\\9 - 6a + c = 0\\8 + 4a - 4b + c = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{3}{2}\\b =  - 4,c =  - 18\end{array} \right.$

Vậy \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 3x - 8y - 18 = 0.\)

Ta có \(O\left( {0;0} \right),{\rm{ }}A\left( {a;0} \right),{\rm{ }}B\left( {0;b} \right) \to OA \bot OB\)

\( \to \left\{ \begin{array}{l}I\left( {\dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2}} \right)\\R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{2}\end{array} \right.\)\( \to \left( C \right):{\left( {x - \dfrac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{b}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow \left( C \right):{x^2} + {y^2} - ax - by = 0.\)

${x^2} + {y^2}-8x + 10y + m = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b =  - 5\\c = m\end{array} \right.$

$ \to {a^2} + {b^2} - c = {R^2} $ $ \Leftrightarrow {4^2} + {\left( { - 5} \right)^2} - m = 49 \Leftrightarrow 41 - m = 49$ $ \Leftrightarrow m =  - 8$

Ta có: ${x^2} + {y^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4y - 1 = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}a = m + 1\\b =  - 2\\c =  - 1\end{array} \right.$

$ \to {R^2} = {a^2} + {b^2} - c = {\left( {m + 1} \right)^2} + 5 \to {R_{\min }} = 5 \Leftrightarrow m =  - 1.$

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BA}  = \left( { - 3;0} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 4} \right)\end{array} \right. \to BA \bot BC$ $ \to R = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {3 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}} }}{2} = \dfrac{5}{2}$

Phương trình đường tròn $\left( C \right)$  tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính $R$ là :\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Phương trình đường tròn ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \).

Do đó: \(c = {a^2} + {b^2} - {R^2}\).

Phương trình ${x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0{\rm{ }}$ với điều kiện ${a^2} + {b^2} - c > 0$, là phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - a; - b} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

Do đó đáp án A sai.

Phương trình của đường tròn có tâm \(I( - 3;4)\) và bán kính \(R = 2\) là: \({(x + 3)^2} + {(y - 4)^2} = {2^2}\) hay\({(x + 3)^2} + {(y - 4)^2} - 4 = 0\)

\({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0,\) là phương trình đường tròn khi \({R^2} = {a^2} + {b^2} - c\). Điều này có nghĩa là \({a^2} + {b^2} - c > 0\)  hay \({a^2} + {b^2} > c\).

\({x^2} + {y^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + 4my + 19m - 6 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)

(*) là phương trình đường tròn khi \({\left( {m + 2} \right)^2} + {\left( {2m} \right)^2} - 19m + 6 > 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 15m + 10 > 0\)\( \Leftrightarrow \) \(m < 1\) hoặc \(m > 2\)

Đáp án A: \({x^2} + 2{y^2} - 4x - 8y + 1 = 0\) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của \(x^2\) là 1 và của \(y^2\) là 2.

Đáp án B: \(4{x^2} + {y^2} - 10x - 6y - 2 = 0\) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của \(x^2\) là 4 và của \(y^2\) là 1.

Đáp án C: \({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0\) có \(a = 1\,\,,b = 4,\,\,c = 20\).

Ta thấy \({a^2} + {b^2} =1^2+4^2=17 < 20 = c\). Đây không phải là một phương trình đường tròn.

Đáp án D: \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\) có \(a = 2,\,\,b =  - 3,\,\,c =  - 12\).

Ta thấy \({a^2} + {b^2} =2^2+(-3)^2=13 > -12 = c\). Đây là một phương trình đường tròn.

\({x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\) có hệ số \(a = 1,b =  - 2,c = 1\)  sẽ có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và \(R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} - 1}  = 2\)

\((C):{x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0\) có \(a =  - 1,\,\,b =  - 2,c =  - 20\) sẽ có tâm \(I\left( { - 1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + 20}  = 5\). 

Thay tọa độ các điểm ở đáp án C và D vào phương trình đường tròn ta thấy hai đáp án đều đúng.

Suy ra mệnh đề sai là mệnh đề ở đáp án A.

Gọi đường tròn có phương trình ${x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\,\left( C \right)$

$A,\,B,\,C \in \left( C \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16 + 8b + c = 0\\20 + 4a + 8b + c = 0\\16 + 8a + c = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 1\\c =  - 8\end{array} \right. \to I\left( {1;1} \right)$

\({x^2} + {y^2} = 1.\) Thay \(x = 0,y = 0\) ta có \({0^2} + {0^2} = 1\) là mệnh đề A sai.

\({x^2} + {y^2} - x - y + 2 = 0\). Thay \(x = 0,y = 0\) ta có \(2 = 0\) là mệnh đề B sai.

\({x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 8 = 0.\) Thay \(x = 0,y = 0\) ta có \(8 = 0\) là mệnh đề C sai.

\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25.\) Thay \(x = 0,y = 0\) ta có \({\left( { - 3} \right)^2} + {\left( { - 4} \right)^2} = 25\) là mệnh đề đúng. Vậy \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25.\) đi qua gốc tọa độ.