Bài tập ôn tập chương 7

a) Sai vì hai véc tơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC}$ không cùng hướng.

b) Đúng vì hai véc tơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC}$ cùng hướng và cùng độ dài.

c) Đúng vì hai véc tơ $\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow {OC}$ đối nhau.

d) Sai vì $\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB}$ không cùng độ dài và không cùng hướng

e) Đúng vì $AB = BC$

f) Sai vì $2\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = 2OA = AC \ne BD = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|$

Vậy có $3$ khẳng định đúng.

Vì $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BC}$ nên $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC}$ cùng hướng và $AB = BC$ nên $B$ là trung điểm của $AC$

Hai véc tơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ có chung gốc $A$ nên chúng cùng hướng nếu hai điểm $B,C$ nằm cùng phía so với điểm $A$ hay điểm $A$ nằm ngoài đoạn $BC$

Qua $N$ kẻ đường thẳng song song với $AD$ cắt $AB$ tại $P$.

Khi đó tứ giác $ADNP$ là hình vuông và $PM = PA + AM = a + \dfrac{a}{2} = \dfrac{{3a}}{2}$.

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $NPM$ ta có

$M{N^2} = N{P^2} + P{M^2} = {a^2} + {\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{13{a^2}}}{4}$$\Rightarrow MN = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}$

Suy ra $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = MN = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}$.

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $MAD$ ta có

$D{M^2} = A{M^2} + A{D^2} = {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} + {a^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{4}$$\Rightarrow DM = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}$

Suy ra $\left| {\overrightarrow {MD} } \right| = MD = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}$.

Hai điểm phân biệt, chẳng hạn $A,\,\,B$ ta xác định được hai vectơ khác vectơ-không là $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BA}$. Mà từ bốn đỉnh $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D$ của tứ giác ta có $6$ cặp điểm phân biệt do đó có $12$ vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Các vectơ khác vectơ - không cùng phương với $\overrightarrow {MN}$ là $\overrightarrow {NM} ,\,\,\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {AP} ,\,\,\overrightarrow {PA} ,\,\,\overrightarrow {BP} ,\,\,\overrightarrow {PB}$.

Gọi $D\left( {2a;a} \right) \Rightarrow B\left( {2 - 2a;2 - a} \right)$

$\overrightarrow {AK} \left( {1; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {AB} \left( {4 - 2a; - 1 - a} \right)$

Vì $\overrightarrow {AK} ,\,\,\overrightarrow {AB}$ cùng phương nên $\dfrac{{4 - 2a}}{1} = \dfrac{{ - 1 - a}}{{ - 1}} \Rightarrow a = 1$ $\Rightarrow D\left( {2;1} \right),\,\,B\left( {0;1} \right)$

Dễ thấy $A,B$ cùng phía với trục hoành.

Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua trục hoành, suy ra $A'\left( {1; - 2} \right)$ và $PA = PA'$

Ta có $PA + PB = PA' + PB \ge A'B$. Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \overrightarrow {A'P}$ cùng phương với $\overrightarrow {A'B}$

Suy ra $\dfrac{{{x_P} - 1}}{{3 - 1}} = \dfrac{{0 + 2}}{{4 + 2}} \Rightarrow {x_P} = \dfrac{5}{3} \Rightarrow P\left( {\dfrac{5}{3};0} \right)$

Ta có${S_{ABC}} = 3{S_{ABM}} \Leftrightarrow BC = 3BM \Rightarrow \overrightarrow {BC}  =  \pm 3\overrightarrow {BM}$

Gọi $M\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BM} \left( {x - 2;y - 1} \right);\,\,\overrightarrow {BC} \left( { - 3; - 3} \right)$

Suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3 = 3\left( {x - 2} \right)}\\{ - 3 = 3\left( {y - 1} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 0}\end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3 =  - 3\left( {x - 2} \right)}\\{ - 3 =  - 3\left( {y - 1} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{y = 2}\end{array}} \right.$

Vậy có hai điểm thỏa mãn ${M_1}\left( {1;0} \right),\,\,{M_2}\left( {3;2} \right)$

$D$ trên trục hoành $\Rightarrow D\left( {x;0} \right)$

Ba điểm $A,B,D$ thẳng hàng suy ra $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AD}$ cùng phương

Mặt khác $\overrightarrow {AD} \left( {x - 6; - 3} \right)$ do đó $\dfrac{{x - 6}}{{ - 9}} = \dfrac{{ - 3}}{3} \Rightarrow x = 15$

Vậy $D\left( {15;0} \right)$

Vì $E$ thuộc đoạn $BC$ và $BE = 2EC$ suy ra $\overrightarrow {BE}  = 2\overrightarrow {EC}$

Gọi $E\left( {x;y} \right)$ khi đó $\overrightarrow {BE} \left( {x + 3;y - 6} \right),\,\,\overrightarrow {EC} \left( {1 - x; - 2 - y} \right)$

Do đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 = 2\left( {1 - x} \right)}\\{y - 6 = 2\left( { - 2 - y} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \dfrac{1}{3}}\\{y = \dfrac{2}{3}}\end{array}} \right.$

Vậy $E\left( { - \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)$

Gọi $I\left( {x;y} \right)$ là giao điểm của $DE$và $AC$.

Do đó $\overrightarrow {DI} \left( {x - 15;y} \right),\,\overrightarrow {DE} \left( { - \dfrac{{46}}{3};\dfrac{2}{3}} \right)$ cùng phương suy ra $\dfrac{{3\left( {x - 15} \right)}}{{ - 46}} = \dfrac{{3y}}{2} \Rightarrow x + 23y - 15 = 0$ (1)

$\overrightarrow {AI} \left( {x - 6;y - 3} \right),\,\,\overrightarrow {AC} \left( { - 5; - 5} \right)$ cùng phương suy ra $\dfrac{{x - 6}}{{ - 5}} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} \Rightarrow x - y - 3 = 0$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $x = \dfrac{7}{2}$ và $y = \dfrac{1}{2}$

Vậy giao điểm hai đường thẳng $DE$ và $AC$ là $I\left( {\dfrac{7}{2};\dfrac{1}{2}} \right)$