Cho hình thoi \(ABCD\) có tâm \(O\). Hãy cho biết số khẳng định đúng ?
a) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \)
b) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)
c) \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow {OC} \)
d) \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} \)
e) \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\)
f) \(2\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\)
a) Sai vì hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \) không cùng hướng.
b) Đúng vì hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} \) cùng hướng và cùng độ dài.
c) Đúng vì hai véc tơ \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OC} \) đối nhau.
d) Sai vì \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) không cùng độ dài và không cùng hướng
e) Đúng vì \(AB = BC\)
f) Sai vì \(2\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = 2OA = AC \ne BD = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\)
Vậy có \(3\) khẳng định đúng.
Cho \(3\) điểm phân biệt \(A,B,C\). Nếu \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \) thì có nhận xét gì về ba điểm $A,B,C$?
Vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \) nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng và \(AB = BC\) nên \(B\) là trung điểm của \(AC\)
Cho ba điểm $A,B,C$ phân biệt thẳng hàng. Khi nào thì hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng?
Hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) có chung gốc \(A\) nên chúng cùng hướng nếu hai điểm \(B,C\) nằm cùng phía so với điểm \(A\) hay điểm \(A\) nằm ngoài đoạn \(BC\)
Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\) cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(N\) là điểm đối xứng với \(C\) qua $D$. Độ dài véc tơ \(\overrightarrow {MN} \) là:
Qua $N$ kẻ đường thẳng song song với \(AD\) cắt \(AB\) tại \(P\).
Khi đó tứ giác \(ADNP\) là hình vuông và \(PM = PA + AM = a + \dfrac{a}{2} = \dfrac{{3a}}{2}\).
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \(NPM\) ta có
\(M{N^2} = N{P^2} + P{M^2} = {a^2} + {\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{13{a^2}}}{4}\)\( \Rightarrow MN = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}\)
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = MN = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}\).
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Hãy tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow {MD} \).
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \(MAD\) ta có
\(D{M^2} = A{M^2} + A{D^2} = {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} + {a^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{4}\)\( \Rightarrow DM = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MD} } \right| = MD = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Cho tứ giác \(ABCD\). Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác.
Hai điểm phân biệt, chẳng hạn \(A,\,\,B\) ta xác định được hai vectơ khác vectơ-không là \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BA} \). Mà từ bốn đỉnh $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D$ của tứ giác ta có $6$ cặp điểm phân biệt do đó có $12$ vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M,\,N,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,CA,\,AB\). Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không cùng phương với \(\overrightarrow {MN} \) có điểm đầu và điểm cuối lấy trong các điểm đã cho.
Các vectơ khác vectơ - không cùng phương với \(\overrightarrow {MN} \) là \(\overrightarrow {NM} ,\,\,\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {AP} ,\,\,\overrightarrow {PA} ,\,\,\overrightarrow {BP} ,\,\,\overrightarrow {PB} \).
Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A\left( { - 2;3} \right)\) và tâm \(I\left( {1;1} \right)\). Biết điểm \(K\left( { - 1;2} \right)\) nằm trên đường thẳng $AB$ và điểm $D$ có hoành độ gấp đôi tung độ. Chọn kết luận đúng:
Gọi \(D\left( {2a;a} \right) \Rightarrow B\left( {2 - 2a;2 - a} \right)\)
\(\overrightarrow {AK} \left( {1; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {AB} \left( {4 - 2a; - 1 - a} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {AK} ,\,\,\overrightarrow {AB} \) cùng phương nên \(\dfrac{{4 - 2a}}{1} = \dfrac{{ - 1 - a}}{{ - 1}} \Rightarrow a = 1 \) \(\Rightarrow D\left( {2;1} \right),\,\,B\left( {0;1} \right)\)
Tìm trên trục hoành điểm $P$ sao cho tổng khoảng cách từ $P$ tới hai điểm $A$ và $B$ là nhỏ nhất, biết \(A\left( {1;2} \right)\) và \(B\left( {3;4} \right)\)
Dễ thấy $A,B$ cùng phía với trục hoành.
Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua trục hoành, suy ra \(A'\left( {1; - 2} \right)\) và \(PA = PA'\)
Ta có \(PA + PB = PA' + PB \ge A'B\). Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \overrightarrow {A'P} \) cùng phương với \(\overrightarrow {A'B} \)
Suy ra \(\dfrac{{{x_P} - 1}}{{3 - 1}} = \dfrac{{0 + 2}}{{4 + 2}} \Rightarrow {x_P} = \dfrac{5}{3} \Rightarrow P\left( {\dfrac{5}{3};0} \right)\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(A(3;4),{\rm{ }}B(2;1),{\rm{ }}C( - 1; - 2)\). Tìm điểm $M$ trên đường thẳng $BC$ sao cho \({S_{ABC}} = 3{S_{ABM}}\)
Ta có\({S_{ABC}} = 3{S_{ABM}} \Leftrightarrow BC = 3BM \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \pm 3\overrightarrow {BM} \)
Gọi \(M\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BM} \left( {x - 2;y - 1} \right);\,\,\overrightarrow {BC} \left( { - 3; - 3} \right)\)
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3 = 3\left( {x - 2} \right)}\\{ - 3 = 3\left( {y - 1} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 0}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3 = - 3\left( {x - 2} \right)}\\{ - 3 = - 3\left( {y - 1} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{y = 2}\end{array}} \right.\)
Vậy có hai điểm thỏa mãn \({M_1}\left( {1;0} \right),\,\,{M_2}\left( {3;2} \right)\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(6;3),{\rm{ }}B( - 3;6),{\rm{ }}C(1; - 2)\). Gọi điểm $D$ trên trục hoành sao cho ba điểm $A,B,D$ thẳng hàng, điểm $E$ thuộc đoạn $BC$ sao cho \(BE = 2EC\). Xác định giao điểm hai đường thẳng $DE$ và $AC$.
$D$ trên trục hoành \( \Rightarrow D\left( {x;0} \right)\)
Ba điểm $A,B,D$ thẳng hàng suy ra \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \) cùng phương
Mặt khác \(\overrightarrow {AD} \left( {x - 6; - 3} \right)\) do đó \(\dfrac{{x - 6}}{{ - 9}} = \dfrac{{ - 3}}{3} \Rightarrow x = 15\)
Vậy \(D\left( {15;0} \right)\)
Vì $E$ thuộc đoạn $BC$ và \(BE = 2EC\) suy ra \(\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {EC} \)
Gọi \(E\left( {x;y} \right)\) khi đó \(\overrightarrow {BE} \left( {x + 3;y - 6} \right),\,\,\overrightarrow {EC} \left( {1 - x; - 2 - y} \right)\)
Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 = 2\left( {1 - x} \right)}\\{y - 6 = 2\left( { - 2 - y} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \dfrac{1}{3}}\\{y = \dfrac{2}{3}}\end{array}} \right.\)
Vậy \(E\left( { - \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\)
Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) là giao điểm của $DE$và $AC$.
Do đó \(\overrightarrow {DI} \left( {x - 15;y} \right),\,\overrightarrow {DE} \left( { - \dfrac{{46}}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\) cùng phương suy ra \(\dfrac{{3\left( {x - 15} \right)}}{{ - 46}} = \dfrac{{3y}}{2} \Rightarrow x + 23y - 15 = 0\) (1)
\(\overrightarrow {AI} \left( {x - 6;y - 3} \right),\,\,\overrightarrow {AC} \left( { - 5; - 5} \right)\) cùng phương suy ra \(\dfrac{{x - 6}}{{ - 5}} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} \Rightarrow x - y - 3 = 0\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(x = \dfrac{7}{2}\) và \(y = \dfrac{1}{2}\)
Vậy giao điểm hai đường thẳng $DE$ và $AC$ là \(I\left( {\dfrac{7}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)
