Hệ thức lượng trong tam giác

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\\m_b^2 = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}\\m_c^2 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}\end{array} \right.$

Mà: $5m_a^2 = m_b^2 + m_c^2$

$\Rightarrow 5\left( {\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} \right)$ $= \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}$

$\Leftrightarrow 5\left( {\dfrac{{{2b^2} + {2c^2}-a^2}}{4}} \right)$$=\dfrac{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2} + 2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}{4}$

$\Leftrightarrow 5\left( {{2b^2} + {2c^2}-a^2} \right)$$=2{a^2} + 2{c^2} - {b^2} + 2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}$

$\Leftrightarrow 10{b^2} + 10{c^2} - 5{a^2}$$= 2{a^2} + 2{c^2} - {b^2} + 2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}$

$\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = {a^2} \Rightarrow$ tam giác $\Delta ABC$ vuông.

Mệnh đề $\left( I \right)$: $\left\{ \begin{array}{l}m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\\m_b^2 = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}\\m_c^2 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}\end{array} \right.$$\Rightarrow m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \dfrac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$

Mệnh đề $\left( {II} \right)$:$G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$$= \dfrac{4}{9}\left( {m_a^2 + m_b^2 + m_c^2} \right)$ $= \dfrac{4}{9}.\dfrac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$ $= \dfrac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$.

Theo định lí hàm sin, ta có

$\dfrac{{OB}}{{\sin \widehat {OAB}}} = \dfrac{{AB}}{{\sin \widehat {AOB}}}$$\Leftrightarrow OB = \dfrac{{AB}}{{\sin \widehat {AOB}}}.\sin \widehat {OAB}$ $= \dfrac{1}{{\sin 30^\circ }}.\sin \widehat {OAB} = 2\sin \widehat {OAB}$

Do đó, độ dài $OB$ lớn nhất khi và chỉ khi $\sin \widehat {OAB} = 1 \Leftrightarrow \widehat {OAB} = 90^\circ$.

Khi đó $OB = 2$.                                                                       

Tam giác $OAB$ vuông tại $A$$\Rightarrow OA = \sqrt {O{B^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{2^2} - {1^2}}  = \sqrt 3$

Tam giác $OAB$ vuông tại $B,$ có $\tan \widehat {AOB} = \dfrac{{AB}}{{OB}} \Rightarrow AB = \tan {60^0}.OB = 60\sqrt 3 m.$

Vậy chiều cao của ngọn tháp là $h = AB + OC = \left( {60\sqrt 3  + 1} \right)\,{\rm{m}}.$

Áp dụng định lí sin vào tam giác $ABD,$ ta có $\dfrac{{AD}}{{\sin \beta }} = \dfrac{{AB}}{{\sin D}}.$

Ta có $\alpha  = \widehat D + \beta$ nên $\widehat D = \alpha  - \beta  = {63^0} - {48^0} = {15^0}.$

Do đó $AD = \dfrac{{AB.\sin \beta }}{{\sin \left( {\alpha  - \beta } \right)}} = \dfrac{{24.\sin {{48}^0}}}{{\sin {{15}^0}}} \approx 68,91{\rm{ m}}.$

Trong tam giác vuông $ACD,$ có $h = CD = AD.\sin \alpha  \approx 61,4{\rm{ m}}.$

Áp dụng định lý hàm số cos cho $\Delta ABC$ ta có:

$\begin{array}{l}\cos A = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \dfrac{{{5^2} + {8^2} - {7^2}}}{{2.5.8}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \angle A = {60^0}.\end{array}$

Ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$

Ta có: $\dfrac{a}{{\sin \,A}} = \dfrac{b}{{\sin \,B}} = \dfrac{c}{{\sin \,C}} = 2R \Rightarrow a = 2R\sin A.$

Trong tam giác $ABC$, độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$ là $m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}$

Ta có: $\dfrac{a}{{\sin \,A}} = \dfrac{b}{{\sin \,B}} = \dfrac{c}{{\sin \,C}} = 2R \Rightarrow a\sin B = b\sin A.$

Ta có $\dfrac{1}{2}a.{h_a} = \dfrac{{abc}}{{4R}}$. Suy ra ${h_a} = \dfrac{{bc}}{{2R}}.$ hay $bc = 2R.{h_a}$.

+ ) $\dfrac{1}{2}a.{h_a} = \dfrac{1}{2}ab.\sin C = \dfrac{1}{2}ac.\sin B$

Suy ra ${h_a} = b.\sin C = c.\sin B$. Suy ra mệnh đề đáp án A và B đúng.

+ ) $\dfrac{1}{2}c.{h_c} = \dfrac{1}{2}ab.\sin C$. Suy ra $c.{h_c} = ab.\sin C$. Suy ra mệnh đề đáp án D đúng.

$\dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} \Rightarrow b = \dfrac{c}{{\sin C}}.\sin B = \dfrac{5}{{\sin {{45}^0}}}.\sin {60^0} = \dfrac{{5\sqrt 6 }}{2}.$

$\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\ = {10^2} + {16^2} - 2.10.16.\cos {60^0}\\ = {\rm{ }}196\end{array}$ .

Suy ra $BC = a = \sqrt {196}  = 14$.

Bước 1: Tính $AC$

Gọi $M,\;N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\;BC$.

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$.

$\Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}AC$. Mà $MN = 3$, suy ra $AC = 6$.

Bước 2: Sử dụng định lý cô sin cho tam giác $ABC$

Theo định lí hàm cosin, ta có

$\begin{array}{l}A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2.AC.BC.\cos \widehat {ACB}\\ \Leftrightarrow {9^2} = {6^2} + B{C^2} - 2.6.BC.\cos 60^\circ \\ \Rightarrow BC = 3 + 3\sqrt 6 \end{array}$

$m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{6^2} + {8^2}}}{2} - \dfrac{{{{10}^2}}}{4} = 25 \Rightarrow {m_a} = 5.$

+ Ta có $p = \dfrac{{a + b + c}}{2} = \dfrac{{5 + 12 + 13}}{2} = 15$

+ $S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}  = \sqrt {15.10.3.2}  = \sqrt {900}  = 30$

+ Có $S = \dfrac{1}{2}BC.CA.\sin C$

+ Gọi $S'$  là diện tích tam giác khi tăng cạnh $BC$  lên $2$  lần đồng thời tăng cạnh $CA$  lên $3$  lần và giữ nguyên độ lớn của góc $C$ , ta có: $S' = \dfrac{1}{2}.2BC.3CA.\sin C = 6S$

Từ $\dfrac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \dfrac{{BC}}{{2\sin A}} = \dfrac{{10}}{{2\sin {{30}^0}}} = 10$

+ Ta có $AB = AC = 2a$ .

+ Ta có $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {4{a^2} + 4{a^2}}  = 2\sqrt 2 a$

+ $MB_{}^2 = \dfrac{{B{C^2} + A{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{4} = \dfrac{{8{a^2} + 4{a^2}}}{2} - \dfrac{{4{a^2}}}{4} = 5{a^2} \Rightarrow MB = a\sqrt 5$