Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn

${225^o} = \dfrac{{225\pi }}{{180}} = \dfrac{{5\pi }}{4}$

Ta có: $\pi$ rad $= {180^o}$

Vậy C đúng

$l = \dfrac{{\pi R{n^o}}}{{{{180}^o}}} = \dfrac{{\pi {{.20.135}^o}}}{{{{180}^o}}} = 15\pi$cm

Áp dụng công thức liên hệ giữa đơn vị độ và đơn vị radian: $\alpha =\dfrac{a.\pi}{180}$ với $a=120^o$ ta được:

$\alpha = \dfrac{{120\pi }}{{180}} = \dfrac{{2\pi }}{3}$  

$\dfrac{{5\pi }}{6} = {\left( {\dfrac{{5\pi }}{6}.\dfrac{{180}}{\pi }} \right)^o} = {150^o}$ 

Đường tròn $(O)$ đường kính bằng $10\,{\rm{cm}}$nên bán kính $R = 5cm$

Độ dài cung có số đo $\dfrac{{7\pi }}{{12}}$ là $l = 5.\dfrac{{7\pi }}{{12}} = \dfrac{{35\pi }}{{12}}\,\,(cm)$ 

$\dfrac{{7\pi }}{6} = \dfrac{{{{7.180}^o}}}{6} = {210^o}$

Độ dài cung có số đo $\alpha  = \dfrac{\pi }{{25}}$  là: $R.\alpha  = 75.\dfrac{\pi }{{25}} = 3\pi \;\;\left( {cm} \right).$

Ta có : $\alpha  = \dfrac{{108.\pi }}{{180}} = \dfrac{{3\pi }}{5}$.

Ta có : $\alpha  = \dfrac{{{{120}^0}.\pi }}{{{{180}^0}}} = \dfrac{{2\pi }}{3}.$

Áp dụng công thức đổi rad sang độ $n = \dfrac{{\alpha .180}}{\pi }$ ta có: $n = \dfrac{{\dfrac{{2\pi }}{5}.180}}{\pi } = {72^0}$

Áp dụng công thức đổi rad sang độ $n = \dfrac{{\alpha .180}}{\pi }$ ta có:

$n = \dfrac{\pi }{9}.\dfrac{{{{180}^{\rm{o}}}}}{\pi } = {20^{\rm{o}}}.$

Độ dài của cung $\dfrac{\pi }{2}{\rm{rad}}$ trên đường tròn được tính bằng công thức: $l = \alpha R = \dfrac{\pi }{2}.\dfrac{{10}}{\pi } = 5\,{\rm{cm}}$.

Ta có $\alpha  = \dfrac{{n\pi }}{{180}} = \dfrac{{40\pi }}{{180}} = \dfrac{{2\pi }}{9}\left( {rad} \right)$.

Độ dài của cung $\dfrac{{2\pi }}{9}$ trên đường tròn bán kính $R = 10cm$ là: $l = \dfrac{{2\pi }}{9}.10 \approx 7\,{\rm{cm}}$.

Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có $l = R\alpha$ nên $\alpha  = \dfrac{l}{R} = \dfrac{3}{6} = 0,5$.

Trong 3 phút bánh xe quay được $\dfrac{{60.180}}{{20}} = 540$ vòng, bánh xe lăn được:

$l = 6,5.540.2\pi  \approx 6,5.540.2.3,1416\;\left( {{\rm{cm}}} \right)$ $\approx 22054{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Cả vòng tròn là một cung có số đo $2\pi$ được chia thành 12 cung bằng nhau nên cứ mỗi tiếng trôi qua thì mũi kim giờ quay được một cung $\dfrac{{2\pi }}{{12}} = \dfrac{\pi }{6}$.

Do đó, trong 30 phút mũi kim giờ chạy trên đường tròn có bán kính $10,57\;{\rm{cm}}$ và đi được cung có số đo là $\dfrac{\pi }{{12}}$ nên độ dài đoạn đường mũi kim giờ đi được là $10,57.\dfrac{\pi }{{12}} \simeq 2,77\;{\rm{cm}}$.

Cung có độ dài bằng bán kính (nửa đường kính) thì có số đó bằng $1$ rad.

$\pi {\rm{ rad}}$ tương ứng với ${180^0}$.

Ta có $\pi {\rm{ rad}}$ tương ứng với ${180^0}$.

Suy ra $1{\rm{ rad}}$ tương ứng với ${x^0}$.

Vậy $x = \dfrac{{{{180}^0}}}{\pi }$.