Bất phương trình bậc hai

Xét phương trình: $\left| {10x - 2{x^2} - 8} \right| = {x^2} - 5x + a$     (1)

$\Leftrightarrow a = \left| {10x - 2{x^2} - 8} \right| - {x^2} + 5x$

Xét $f\left( x \right) = \left| {10x - 2{x^2} - 8} \right| - {x^2} + 5x$

$= \left\{ \begin{array}{l}\left( {10x - 2{x^2} - 8} \right) - {x^2} + 5x{\rm{ }} & {\rm{khi }}10x - 2{x^2} - 8 \ge 0\\ - \left( {10x - 2{x^2} - 8} \right) - {x^2} + 5x{\rm{ }} & {\rm{khi }}10x - 2{x^2} - 8 < 0\end{array} \right.$

$= \left\{ \begin{array}{l} - 3{x^2} + 15x - 8 & {\rm{khi }}1 \le x \le 4\\{x^2} - 5x + 8 & {\rm{khi }}x \le 1 \vee x \ge 4\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 4 < a < \dfrac{{43}}{4}$.

$\sqrt {\left( {x + 5} \right)\left( {3 - x} \right)}  \le {x^2} + 2x + a \Leftrightarrow \sqrt { - {x^2} - 2x + 15}  - {x^2} - 2x \le a$

Đặt $t = \sqrt { - {x^2} - 2x + 15}$, ta có bảng biến thiên

Suy ra $t \in \left[ {0;4} \right]$.

Bất phương trình đã cho thành ${t^2} + t - 15 \le a$.

Xét hàm $f\left( t \right) = {t^2} + t - 15$ với $t \in \left[ {0;4} \right]$

Ta có bảng biến thiên

Bất phương trình ${t^2} + t - 15 \le a$ nghiệm đúng $\forall t \in \left[ {0;4} \right]$ khi và chỉ khi $a \ge 5.$

Trường hợp 1: $x \in \left[ {2; + \infty } \right)$.

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:

${x^2} - \left( {a + 3} \right)x + 8 \le 0$$\Leftrightarrow a \ge x + \dfrac{8}{x} - 3 \ge 4\sqrt 2  - 3 \approx 2,65$$\forall x \in \left[ {2; + \infty } \right)$.

Dấu  xảy ra khi $x = 2\sqrt 2$.

Trường hợp 2: $x \in \left( { - \infty ;2} \right)$.

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:

${x^2} - \left( {a + 1} \right)x + 4 \le 0$

$\Leftrightarrow ax \ge {x^2} -x+4$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \ge \dfrac{{x^2} -x+4}{x}\;\;khi\;\;x \in \left( {0;2} \right)\;\;\;\;\;\;\\a \le \dfrac{{x^2} -x+4}{x}\;\;khi\;\;x \in \left( { - \infty ;0} \right)\;\;\;\end{array} \right.$.

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \ge x + \dfrac{4}{x} - 1\;\;khi\;\;x \in \left( {0;2} \right)\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\\a \le x + \dfrac{4}{x} - 1\;\;khi\;\;x \in \left( { - \infty ;0} \right)\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.$.

Giải $\left( 1 \right)$ ta được $a > 3$ (theo bất đẳng thức Cauchy).

Giải $\left( 2 \right)$: $a \le x + \dfrac{4}{x} - 1$$\Leftrightarrow a \le  - 2\sqrt {x.\dfrac{4}{x}}  - 1 =  - 5$.

Vậy giá trị dương nhỏ nhất của $a$ gần với số $2,6$.

Đặt $t = {x^2} \ge 0$

Ta có $\left| {{t^2} - 2t - 3} \right| \le t - 5$.

Nếu ${t^2} - 2t - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \le  - 1\\t \ge 3\end{array} \right.$ thì ta có ${t^2} - 3t + 2 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le t \le 2$ loại

Nếu ${t^2} - 2t - 3 < 0 \Leftrightarrow  - 1 < t < 3$ thì ta có $- {t^2} + t + 8 \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \le \dfrac{{1 - \sqrt {33} }}{2}\\t \ge \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{2}\end{array} \right.$ loại.

Ta có $\left| {x + 3} \right|\left( {x - 2} \right) + m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1 - \left| {x + 3} \right|\left( {x - 2} \right)$

Xét hàm số $y = 1 - \left| {x + 3} \right|(x - 2)$

Ta có $y = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} - x + 7\,\,\;khi\,\,\;x \ge  - 3\\{x^2} + x - 5\,\,\;\;\;khi\,\;\;x <  - 3\end{array} \right.$

Bảng biến thiên của $y = 1 - \left| {x + 3} \right|(x - 2)$

Dựa vào bảng trên phương trình có đúng $1$ nghiệm khi và chỉ khi$\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > \dfrac{{29}}{4}\end{array} \right.$

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

$\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right) < 5\sqrt {{x^2} + 5x + 28}$$\Leftrightarrow {x^2} + 5x + 4 - 5\sqrt {{x^2} + 5x + 28}  < 0$(1)

Đặt $\sqrt {{x^2} + 5x + 28}  = t\left( {t > 0} \right)$

(1) trở thành: ${t^2} - 5t - 24 < 0 \Leftrightarrow  - 3 < t < 8$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} + 5x + 28 < 64\\ \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 36 < 0 \Leftrightarrow  - 9 < x < 4\end{array}$

Ta có: $\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - \dfrac{{x + 1}}{{{x^3} - {x^2} - 3x + 3}} < 0}\\{x > {m^2} + m}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {3{x^2} + 3x - 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3} \right)}} < 0}\\{x > {m^2} + m}\end{array}} \right.$  $\left( {**} \right)$

Bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình $\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {3{x^2} + 3x - 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3} \right)}} < 0$ là $S = \left( {\dfrac{{ - 3 - \sqrt {57} }}{6}; - \sqrt 3 } \right) \cup \left( {\dfrac{{ - 3 + \sqrt {57} }}{6};1} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;2} \right)$

Do đó bất phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm khi và chỉ khi hệ bất phương trình$\left( {**} \right)$ có nghiệm

$\Leftrightarrow {m^2} + m < 2$$\Leftrightarrow {m^2} + m - 2 < 0$$\Leftrightarrow  - 2 < m < 1$

Vậy $- 2 < m < 1$ là giá trị cần tìm.

Ta có: $\angle CAB + \angle BAD + \angle DAE = {180^o}$

$\Rightarrow \angle CAB + \angle EAD = {90^o}$

Mà $\angle CAB + \angle CBA = {90^o}$ ($\Delta CAB$ vuông tại C)

$\Rightarrow \angle CBA = \angle EAD$ kết hợp $AB = AD\,\,\,\left( {gt} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta CAB = \Delta EDA\,\,\,\left( {ch - gn} \right)\\ \Rightarrow CB = EA = x \Rightarrow CA = CE - EA = 20 - x\,\,\,\,\left( {cm} \right)\end{array}$

Diện tích viên gạch là $S = A{B^2} = C{B^2} + C{A^2} = {x^2} + {\left( {20 - x} \right)^2}$

ĐKXĐ: $x \ge  - \dfrac{1}{2}$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\sqrt {2x + 4}  - \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {2x + 1}  + \sqrt {x + 4} } \right) \le x + 3\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {2x + 4}  - \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {2x + 4}  + \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {2x + 1}  + \sqrt {x + 4} } \right) \le \left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 4}  + \sqrt {x + 1} } \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 1}  + \sqrt {x + 4} } \right) \le \left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 4}  + \sqrt {x + 1} } \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 1}  + \sqrt {x + 4}  - \sqrt {2x + 4}  - \sqrt {x + 1} } \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x + 1}  + \sqrt {x + 4}  - \sqrt {2x + 4}  - \sqrt {x + 1}  \le 0\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,x + 3 > 0\,\,\,\forall x \ge  - \dfrac{1}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x + 1}  + \sqrt {x + 4}  \le \sqrt {2x + 4}  + \sqrt {x + 1} \\ \Leftrightarrow 3x + 5 + 2\sqrt {\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)}  \le 3x + 5 + 2\sqrt {\left( {2x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)} \\ \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 4} \right) \le \left( {2x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 9x + 4 \le 2{x^2} + 6x + 4\\ \Leftrightarrow 3x \le 0 \Leftrightarrow x \le 0\end{array}$        

Kết hợp ĐKXĐ $\Rightarrow x \in \left[ { - \dfrac{1}{2};0} \right] \subset \left( { - \dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2}} \right)$

Bước 1: Gọi x là số tiền tăng thêm của một tháng và biểu diễn số tiền bán 1 tháng theo x.

Số tiền bán mỗi bóng đèn là: $20 + x\,$(USD)

Số tiền lãi của 1 bóng đèn là: $x + 8$ (USD)

Sau khi tăng $x$ USD 1 bóng đèn thì số bóng bán được trong 1 tháng: $2000 - 100x$

Bước 2: Biểu diễn lợi nhuận theo x. Áp dụng BĐT Cauchy để tìm max.

$\begin{array}{l}L = \left( {8 + x} \right).\left( {2000 - 100x} \right)\\ \Rightarrow 100L = \left( {800 + 100x} \right)(2000 - 100x) \le {\left( {\dfrac{{800 + 2000}}{2}} \right)^2}\end{array}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 800 + 100x = 2000 - 100x \Leftrightarrow x = 6$

Vậy số tiền mỗi bóng là $20 + 6 = 26$ USD