Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {\sqrt {{x^2} + x - 12} - 2\sqrt 2 } .$
Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + x - 12} - 2\sqrt 2 \ge 0\\{x^2} + x - 12 \ge 0\end{array} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x - 12 \ge 8\\{x^2} + x - 12 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 \ge 8 \Leftrightarrow {x^2} + x - 20 \ge 0.$
Phương trình ${x^2} + x - 20 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 5} \right)\left( {x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \,5\\x = 4\end{array} \right..$
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ${x^2} + x - 20 \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ; - \,5} \right] \cup \left[ {4; + \,\infty } \right).$
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left( { - \,\infty ; - \,5} \right] \cup \left[ {4; + \,\infty } \right).$
Cho $f(x) = - 2{x^2} + (m + 2)x + m - 4$. Tìm $m$ để $f(x)$ âm với mọi $x \in R$.
Ta có $f\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta < 0\\a < 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} + 8\left( {m - 4} \right) < 0$$ \Leftrightarrow {m^2} + 12m - 28 < 0$$ \Leftrightarrow - 14 < m < 2$.
Tam thức $f\left( x \right) = m{x^2} - mx + m + 3$ âm với mọi $x$ khi:
Với \(m = 0\) thay vào ta được \(f\left( x \right) = 3 < 0\) (vô lý) suy ra \(m = 0\) không thỏa mãn.
Với \(m \ne 0\), yêu cầu bài toán
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{\Delta < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{{m^2} - 4m\left( {m + 3} \right) < 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{ - 3{m^2} - 12m < 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\left[ \begin{array}{l}m < - 4\\m > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - 4\)
Tam thức $f\left( x \right) = 3{x^2} + 2\left( {2m - 1} \right)x + m + 4$ dương với mọi $x$ khi:
Tam thức \(f\left( x \right)\) có \(a = 3 > 0\). Do đó \(f\left( x \right) > 0,\,\forall x\) khi
\(\Delta ' < 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 3\left( {m + 4} \right) < 0\) \( \Leftrightarrow 4{m^2} - 7m - 11 < 0\) \( \Leftrightarrow - 1 < x < \dfrac{{11}}{4}\)
Tam thức $f\left( x \right) = {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1$ không âm với mọi $x$ khi:
Tam thức \(f\left( x \right)\) có \(a = 1 > 0\)nên \(f\left( x \right) \ge 0,\forall x\) (không âm) khi
\(\Delta \le 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) \le 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - 28m \le 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 28\)
Bất phương trình \({x^2} - mx - m \ge 0\) có nghiệm đúng với mọi \(x\) khi và chỉ khi:
Tam thức \(f(x) = {x^2} - mx - m\) có hệ số \(a = 1 > 0\)nên bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(\forall x\) khi và chỉ khi \(\Delta = {m^2} + 4m \le 0 \Leftrightarrow - 4 \le m \le 0\).
Tìm các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình $ - {x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m < 0$ có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\).
Tam thức $f\left( x \right) = - {x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m$ có hệ số $a = - 1 < 0$ nên bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) khi $\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} + 4m = 4{m^2} + 1 < 0 \Leftrightarrow m \in \emptyset $.
Tìm giá trị nguyên của $k$ để bất phương trình ${x^2} - 2\left( {4k - 1} \right)x + 15{k^2} - 2k - 7 > 0\,\,$nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ là
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \)\(\Delta ' < 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {4k - 1} \right)^2} - 15{k^2} + 2k + 7 < 0\)\( \Leftrightarrow {k^2} - 6k + 8 < 0\) \( \Leftrightarrow 2 < k < 4\)
Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 3\).
Bất phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m + 2 \le 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi:
Bất phương trình \(f\left( x \right) = {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m + 2 \le 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi \(f\left( x \right) > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\).
Tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m + 2\) có hệ số $a = 1 > 0$ nên \(f\left( x \right) > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\) khi \(\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {m + 2} \right) = {m^2} - 4 < 0\)\( \Leftrightarrow - 2 < m < 2\)
Tìm \(m\) sao cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x - 4 \le 0\left( 1 \right)\\\left( {m - 1} \right)x - 2 \ge 0\left( 2 \right)\end{array} \right.$ có nghiệm.
Bất phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 1 \le x \le 4.\) Suy ra \({S_1} = \left[ { - 1;4} \right]\).
Giải bất phương trình (2)
Với \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\) thì bất phương trình (2) trở thành \(0x \ge 2\) : vô nghiệm .
Với \(m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1\) thì bất phương trình (2) tương đương với \(x \ge \dfrac{2}{{m - 1}}\) .
Suy ra \({S_2} = \left[ {\dfrac{2}{{m - 1}}; + \infty } \right)\) .Hệ bất phương trình có nghiệm khi:
\(\dfrac{2}{{m - 1}} \le 4 \Leftrightarrow 2 \le 4\left( {m - 1} \right)\) (do \(m - 1 > 0\))
\( \Leftrightarrow 2 \le 4m - 4 \Leftrightarrow 6 \le 4m\) \( \Leftrightarrow m \ge \dfrac{3}{2}\) (TM \(m > 1\))
Với \(m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < 1\) thì bất phương trình (2) tương đương với \(x \le \dfrac{2}{{m - 1}}\) .
Suy ra \({S_2} = \left( { - \infty ;\dfrac{2}{{m - 1}}} \right]\) .
Hệ bất phương trình có nghiệm khi:
\(\dfrac{2}{{m - 1}} \ge - 1 \Leftrightarrow 2 \le - 1\left( {m - 1} \right)\) (do \(m - 1 < 0\))
\( \Leftrightarrow 2 \le - m + 1 \Leftrightarrow {\rm{1}} \le - m\) \( \Leftrightarrow m \le - 1\) (TM \(m < 1\))
Vậy để bpt có nghiệm thì \(m \ge \dfrac{3}{2}\) hoặc \(m \le - 1\).
Hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + m < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3{x^2} - x - 4 \le 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$ vô nghiệm khi và chỉ khi:
Bất phương trình \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow - 1 \le x \le \dfrac{4}{3}.\) Suy ra \({S_2} = \left[ { - 1;\dfrac{4}{3}} \right]\)
Bất phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x < - \dfrac{m}{2}.\) Suy ra \({S_1} = \left( { - \infty ; - \dfrac{m}{2}} \right).\)
Để hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi \({S_1} \cap {S_2} = \emptyset \) \( \Leftrightarrow - \dfrac{m}{2} \le - 1 \Leftrightarrow m \ge 2.\)
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\) có $\Delta = {b^2} - 4ac < 0$. Khi đó mệnh đề nào đúng?
Đáp án A, B sai vì chưa biết dấu của \(a\) nên chưa kết luận được dấu của \(f\left( x \right)\)
Vì \(\Delta < 0\) và \(a \ne 0\) nên \(f\left( x \right)\) không đổi dấu trên \(\mathbb{R}\).
Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = 2{x^2} + 2x + 5$ nhận giá trị dương khi và chỉ khi
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}a = 2 > 0\\\Delta ' = 1 - 2.5 = - 9 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \,f\left( x \right) > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.$
Câu hỏi test
Chọn đáp án đúng chắc chắn là đúng
Cho các tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 4;\,g\left( x \right) = - {x^2} + 3x - 4;\,h\left( x \right) = 4 - 3{x^2}\). Số tam thức đổi dấu trên \(\mathbb{R}\) là:
Vì \(f\left( x \right) = 0\) vô nghiệm do \(\Delta = 9 - 4.2.4 = - 23 < 0\)
\(g\left( x \right) = 0\) vô nghiệm do \(\Delta = 9 - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) = - 7 < 0\)
\(h\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt do:
\(4 - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} = 4 \) \(\Leftrightarrow {x^2} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)
Nên chỉ có \(h\left( x \right)\) đổi dấu trên \(\mathbb{R}\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 8 - 5\sqrt 3 \):
Ta có \(f\left( x \right) = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2 - \sqrt 3 \\x = 1 + 2\sqrt 3 \end{array} \right.\).
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu \(f\left( x \right) < 0\, \Leftrightarrow \, - 2 - \sqrt 3 < x < 1 + 2\sqrt 3 \).
Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức $f\left( x \right) = \;{x^2} + 12x + 36$?
Ta có:
$\begin{array}{l}
f\left( x \right) = {x^2} + 12x + 36\\
\Delta = {12^2} - 4.1.36 = 0
\end{array}$
Do đó, tam thức bậc hai \(f(x) \) có một nghiệm duy nhất \(x = - \frac{{12}}{{2.1}} = - 6\)
\(a = 1 > 0\) nên \(f\left( x \right) > 0,\forall x\ne -6\) hay \(f(x)\ge 0\) với mọi x.
Do đó ta có bảng xét dấu cần tìm.
Cho tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - bx + 3$. Với giá trị nào của $b$ thì tam thức $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt?
Ta có $f\left( x \right) = {x^2} - bx + 3$ có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta= {b^2} - 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b < - 2\sqrt 3 \,\,\\\,b > 2\sqrt 3 \end{array} \right.\).
Giá trị nào của $m$ thì phương trình $\left( {m - 3} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x - \left( {m + 1} \right) = 0$ (1) có hai nghiệm phân biệt?
Ta có \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khi \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\5{m^2} - 2m - 3 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\\left( {m - 1} \right)\left( {5m + 3} \right) > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\\left[ \begin{array}{l}m < - \dfrac{3}{5}\,\,\\\,m > 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 2} $.
Điều kiện $2{x^2} - 5x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$.
Vậy tập xác định của hàm số là $\left( { - \infty ;\dfrac{1}{2}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.
