Tìm \(m\) sao cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x - 4 \le 0\left( 1 \right)\\\left( {m - 1} \right)x - 2 \ge 0\left( 2 \right)\end{array} \right.$ có nghiệm.

Bất phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 4.\) Suy ra \({S_1} = \left[ { - 1;4} \right]\).

Giải bất phương trình (2)

Với \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\) thì bất phương trình (2) trở thành \(0x \ge 2\) : vô nghiệm .

Với \(m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1\) thì bất phương trình (2) tương đương với \(x \ge \dfrac{2}{{m - 1}}\) .

Suy ra \({S_2} = \left[ {\dfrac{2}{{m - 1}}; + \infty } \right)\) .Hệ bất phương trình có nghiệm khi:

\(\dfrac{2}{{m - 1}} \le 4 \Leftrightarrow 2 \le 4\left( {m - 1} \right)\) (do \(m - 1 > 0\))

\( \Leftrightarrow 2 \le 4m - 4 \Leftrightarrow 6 \le 4m\) \( \Leftrightarrow m \ge \dfrac{3}{2}\) (TM \(m > 1\))

Với \(m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < 1\) thì bất phương trình (2) tương đương với \(x \le \dfrac{2}{{m - 1}}\) .

Suy ra \({S_2} = \left( { - \infty ;\dfrac{2}{{m - 1}}} \right]\) .

Hệ bất phương trình có nghiệm khi:

\(\dfrac{2}{{m - 1}} \ge  - 1 \Leftrightarrow 2 \le  - 1\left( {m - 1} \right)\) (do \(m - 1 < 0\))

\( \Leftrightarrow 2 \le  - m + 1 \Leftrightarrow {\rm{1}} \le  - m\) \( \Leftrightarrow m \le  - 1\) (TM \(m < 1\))

Vậy để bpt có nghiệm thì \(m \ge \dfrac{3}{2}\) hoặc \(m \le  - 1\).