Khoảng cách và góc

$B = AB \cap Ox \Rightarrow B(1;0)$, $A \in AB \Rightarrow A\left( {a;3\sqrt 7 (a - 1)} \right) \Rightarrow a > 1$ (do ${x_A} > 0,{y_A} > 0$).

Gọi $AH$ là đường cao $\Delta ABC$, do $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $AH$ cũng là đường trung tuyến, khi đó $H$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow H(a;0) \Rightarrow C(2a - 1;0) \Rightarrow BC = 2(a - 1),AB = AC = 8(a - 1)$

Chu vi tam giác $ABC$ bằng $18$ $\Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow C(3;0),A\left( {2;3\sqrt 7 } \right)$

Phương trình tham số của $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3t - 5\end{array} \right.$

Điểm  $M \in \Delta  \Rightarrow M\left( {t;3t-5} \right)$

$\overrightarrow {AB} \left( { - 3;4} \right);\overrightarrow {CD} \left( {4;1} \right)$

Phương trình đường thẳng $AB:4x + 3y - 4 = 0$

Phương trình đường thẳng $CD:x - 4y + 17 = 0$

 ${S_{MAB}} = {S_{MCD}} \Leftrightarrow d(M,AB).AB = d(M,CD).CD$

$\dfrac{{\left| {4t + 3(3t - 5) - 4} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}.AB = \dfrac{{\left| {t - 4(3t - 5) + 17} \right|}}{{\sqrt {1 + {4^2}} }}.CD$$\Rightarrow \dfrac{{\left| {13t - 19} \right|}}{5}.\sqrt {{4^2} + {3^2}}  = \dfrac{{\left| { - 11t + 37} \right|}}{{\sqrt {17} }}.\sqrt {1 + {4^2}}$

 $\Leftrightarrow t =  - 9 \vee t = \dfrac{7}{3}$  $\Rightarrow M( - 9; - 32),M\left( {\dfrac{7}{3};2} \right)$

Điểm $C \in CD:x + y - 1 = 0 \Rightarrow C\left( {t;1 - t} \right)$.

 Suy ra trung điểm $M$  của $AC$  là $M\left( {\dfrac{{t + 1}}{2};\dfrac{{3 - t}}{2}} \right)$.

$M$  thuộc $BM$  nên $(t + 1) + \dfrac{{3 - t}}{2} + 1 = 0 \Rightarrow t =  - 7 \Rightarrow C\left( { - 7;8} \right)$

Từ $A\left( {1;2} \right),$ kẻ $AI \bot CD\left( {I \in CD} \right)$ cắt $BC$ tại $K$

Suy ra $AK:\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0$

Tọa độ điểm $I$  thỏa hệ: $\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\x - y + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;1} \right)$

 Tam giác $ACK$  cân tại $C$  nên $I$  là trung điểm của $AK \Rightarrow K\left( { - 1;0} \right)$

Đường thẳng $BC$  đi qua $C,K$ nên có phương trình:

 $\dfrac{{x + 1}}{{ - 7 + 1}} = \dfrac{y}{8} \Leftrightarrow 4x + 3y + 4 = 0$

$I\left( {6;2} \right);M\left( {1;5} \right)$

 $\Delta :x + y-5 = 0,E \in \Delta  \Rightarrow E\left( {m;5-m} \right);$

Gọi $N$ là trung điểm của $AB$

$I$  trung điểm  $NE$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_I} - {x_E} = 12 - m\\{y_N} = 2{y_I} - {y_E} = 4 - 5 + m = m - 1\end{array} \right.$ $\Rightarrow N\left( {12-m;m-1} \right)$

$\overrightarrow {MN}  = \left( {11-m;m-6} \right);$             $\overrightarrow {IE}  = \left( {m - 6;5-m-2} \right) = \left( {m-6;3-m} \right)$

$\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {IE}  = 0$$\Leftrightarrow \left( {11-m} \right)\left( {m-6} \right) + \left( {m-6} \right)\left( {3-m} \right) = 0$

 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m-6 = 0\\14 - 2m = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = 7\end{array} \right.$

 + $m = 6 \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {5;0} \right)$ nên phương trình $AB$  là $y = 5$

+ $m = 7 \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {4;1} \right)$ nên phương trình $AB$ là $x-4y + 19 = 0$

Gọi $N$ là điểm đối xứng của $M$  qua ${d_1} \Rightarrow N \in AC$

$\overrightarrow {MN}  = ({x_N} - 1,\,\,{y_N} + 1)$

Ta có:  $\overrightarrow {MN}$ cùng phương ${\overrightarrow n _{{d_1}}} = (1;\,\,1)$

$\Leftrightarrow \,\,1({x_N} - 1) - 1({y_N} + 1) = 0$$\Leftrightarrow {x_N} - {y_N} = 2\,\,\,(1)$

 Tọa độ trung điểm $I$  của   $MN:$${x_I} = \dfrac{1}{2}\left( {1 + {x_N}} \right),{y_I} = \dfrac{1}{2}\left( { - 1 + {y_N}} \right)$

$I \in \left( {{d_1}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {1 + {x_N}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( { - 1 + {y_N}} \right) + 2 = 0$$\Leftrightarrow {x_N} + {y_N} + 4 = 0\,\,\,\,(2)$

 Giải hệ $\left( 1 \right)$  và $\left( 2 \right)$  ta được $N\left( {-1;-3} \right)$

Phương trình cạnh $AC$  vuông góc với ${d_2}$  có dạng: $x + 2y + C = 0.$

 $N \in AC$$\Leftrightarrow  - 1 + 2.( - 3) + C = 0$$\Leftrightarrow C = 7$

 Vậy, phương trình cạnh $AC:$  $x + 2y + 7 = 0.$

Đường thẳng $\left( d \right)$ có VTPT $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3; - 4} \right)$

Đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ có VTPT $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {a;b} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {d;\Delta } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {3a - 4b} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\ \Leftrightarrow \cos {45^o} = \dfrac{{\left| {3a - 4b} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3a - 4b} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| {3a - 4b} \right| = 5\sqrt {{a^2} + {b^2}}  \Leftrightarrow 2{\left( {3a - 4b} \right)^2} = 25\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 7{a^2} + 48ab - 7{b^2} = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$

Mặt khác $M\left( {2; - 1} \right) \in \Delta  \Rightarrow 2a - b + 5 = 0 \Leftrightarrow b = 2a + 5$ thế vào (1)

Ta thấy ${d_1}:\,\,\,2x - y + 3 = 0;\,\,\,{d_2}:\,\,\,x + 2y - 5 = 0$ là hai đường thẳng vuông góc.

Giả sử hình chữ nhật bài cho là $ABCD$ có:  $AB:\,\,\,2x - y + 3 = 0;\,\,\,AD:\,\,\,x + 2y - 5 = 0$

Thay tọa độ điểm $\left( {2;\,\,3} \right)$ vào các phương trình đường thẳng $AB,\,\,AD$ ta thấy $\left( {2;\,\,3} \right)$ không thuộc các đường thẳng trên $\Rightarrow C\left( {2;\,3} \right).$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABCD}} = CB.CD = d\left( {C;\,\,AB} \right).d\left( {C;\,\,AD} \right)\\ = \dfrac{{\left| {2.2 - 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }}.\dfrac{{\left| {2 + 2.3 - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \dfrac{4}{{\sqrt 5 }}.\dfrac{3}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{12}}{5}\,\,\,\left( {dvdt} \right)\end{array}$

Gọi $M\left( {0;m} \right) \in Oy;\,\,AB = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2} \right)}^2}}  = 5.$ 

Có  ${S_{\Delta MAB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {M,AB} \right).AB$ $\Leftrightarrow 1 = \dfrac{1}{2}.d\left( {M,AB} \right).5 \Leftrightarrow d\left( {M,AB} \right) = \dfrac{2}{5}$

$\overrightarrow {AB}  = \left( {3;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {4; - 3} \right)$ là 1 VTPT của  AB.

$\Rightarrow$ Phương trình AB: $4\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 2 = 0$

$\Rightarrow d\left( {M,AB} \right) = \dfrac{{\left| { - 3m + 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}$$\Leftrightarrow \dfrac{2}{5} = \dfrac{{\left| { - 3m + 2} \right|}}{5} \Leftrightarrow \left| { - 3m + 2} \right| = 2$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3m + 2 = 2\\ - 3m + 2 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0 \Rightarrow M\left( {0;0} \right)\\m = \dfrac{4}{3} \Rightarrow M\left( {0;\dfrac{4}{3}} \right)\end{array} \right.$  

Khoảng cách từ điểm M (–2; 2) đến đường thẳng Δ: $5x - 12y + 8 = 0$

$d\left( {M;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - 2.5 - 12.2 + 8} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} }} = \dfrac{{26}}{{13}} = 2.$

${\Delta _1}:\;\;3x + 4y = 12 \Leftrightarrow 3x + 4y - 12 = 0.$

Xét phương trình đường thẳng ${\Delta _1},\;{\Delta _2}$ ta có: $\dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{8} \ne  - \dfrac{{12}}{{11}} \Rightarrow {\Delta _1}//{\Delta _2}.$

Chọn $A\left( {0;3} \right) \in {\Delta _1}.$ Khi đó ta có:

$\Rightarrow d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = d\left( {A;{\Delta _2}} \right) = \dfrac{{\left| {24 - 11} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {8^2}} }} = \dfrac{{13}}{{10}} = 1,3.$

Gọi điểm $I\left( {a;b} \right)$ thỏa mãn

$2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}$$= \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 2\left( { - 1 - a;\;2 - b} \right) + \left( {3 - a;\;4 - b} \right) = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( { - 1 - a} \right) + 3 - a = 0\\2\left( {2 - b} \right) + 4 - b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a + 1 = 0\\ - 3b + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{3}\\b = \dfrac{8}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}} \right).$

Ta có: $2A{M^2} + M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {IM}  - \overrightarrow {IA} } \right)^2}$$+ {\left( {\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IM} } \right)^2}$

 $\begin{array}{l} = 2\left( {I{M^2} - 2\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IA}  + I{A^2}} \right) + I{B^2} - 2\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IM}  + I{M^2}\\ = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2} - 2\overrightarrow {IM} \left( {2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) \\= 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2}\end{array}$

$2I{A^2} + I{B^2}$ không thay đổi nên $2A{M^2} + M{B^2}$ nhỏ nhất khi IM  nhỏ nhất

$\Leftrightarrow$ M là hình chiếu vuông góc của I  lên $\Delta$

 $\Delta$ có VTPT là $\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)$

Gọi d  là đường thẳng đi qua I  vuông góc với $\Delta$

$\Rightarrow$ d  nhận $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\;1} \right)$ làm VTPT

$\Rightarrow$Phương trình tổng quát của d  là: $2\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right) + \left( {y - \dfrac{8}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - \dfrac{{10}}{3} = 0$

M  là giao điểm của d và $\Delta$$\Rightarrow$ tọa độ điểm M  là nghiệm của hệ phương trình:

 $\left\{ \begin{array}{l}2x + y - \dfrac{{10}}{3} = 0\\x - 2y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{26}}{{15}}\\y =  - \dfrac{2}{{15}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{{26}}{{15}}; - \dfrac{2}{{15}}} \right).$

Vậy $M\left( {\dfrac{{26}}{{15}}; - \dfrac{2}{{15}}} \right)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Phương trình đường thẳng $BC$ là $y = 0$, vì $M \in BC$ nên gọi $M\left( {m;0} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AM}  = \left( {m - 2; - 3} \right)$ nên $\overrightarrow n  = \left( {3;m - 2} \right)$ là 1 VTPT của đường thẳng $AM$.

Phương trình đường thẳng $AM$ là:

$\begin{array}{l}3\left( {x - 2} \right) + \left( {m - 2} \right)\left( {y - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x + \left( {m - 2} \right)y - 6 - 3m + 6 = 0\\ \Leftrightarrow 3x + \left( {m - 2} \right)y - 3m = 0\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {B;AM} \right) = \dfrac{{\left| {15 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }}\\\,\,\,\,\,\,d\left( {C;AM} \right) = \dfrac{{\left| { - 3 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }}\end{array}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{S_{\Delta MAB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {B;AM} \right).AM\\{S_{\Delta MAC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {C;AM} \right).AM\end{array} \right. \Rightarrow {S_{\Delta MAB}} = 2{S_{\Delta MAC}} \Leftrightarrow d\left( {B;AM} \right) = 2d\left( {C;AM} \right)$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\left| {15 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }} = 2\dfrac{{\left| { - 3 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {15 - 3m} \right| = 2\left| { - 3 - 3m} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}15 - 3m =  - 6 - 6m\\15 - 3m = 6 + 6m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 7\\m = 1\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $M\left( {1;0} \right)$ hoặc $M\left( { - 7;0} \right)$.