Bài tập ôn tập chương 9

$(H):\,4{x^2} - {y^2} = 4 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{1} - \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow a = 1;b = 2$

Độ dài trục thực: ${A_1}{A_2} = 2a = 2.1 = 2$

Độ dài trục ảo: ${B_1}{B_2} = 2b = 2.2 = 4$.

$(H):\,\,16{x^2} - 9{y^2} = 16 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{1} - \dfrac{{{y^2}}}{{\dfrac{{16}}{9}}} = 1 \Rightarrow a = 1,\,\,b = \dfrac{4}{3}$

Hai đường tiệm cận của $(H)$: $y = \dfrac{b}{a}x = \dfrac{{\dfrac{4}{3}}}{1}x = \dfrac{4}{3}x;\,\,y =  - \dfrac{b}{a}x =  - \dfrac{{\dfrac{4}{3}}}{1}x =  - \dfrac{4}{3}x$.

$(H)$ có trục thực, trục ảo dài lần lượt là 10 và 6 $\Rightarrow a = 5,\,\,b = 3$.

Phương trình chính tắc của $(H)$:  $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$.

Gọi K là điểm đối xứng với H qua đường phân giác AD: x – y + 2 = 0 $\Rightarrow$ đường thẳng HK có phương trình x + y + 2 = 0. Tọa độ giao điểm của HK với d là nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2 = 0\\x + y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow M\left( { - 2;0} \right)$ là trung điểm của HK

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_K} = 2{x_M} - {x_H} =  - 4 + 1 =  - 3\\{y_K} = 2{y_M} - {y_H} = 0 + 1 = 1\end{array} \right. \Rightarrow K\left( { - 3;1} \right)$

Đường thẳng $AC \bot BE:4x + 3y - 1 = 0$  và đi qua K nên AC có phương trình $3\left( {x + 3} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 13 = 0$

Đỉnh $A = AC \cap AD \Rightarrow$ Tọa độ của A là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2 = 0\\3x - 4y + 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 7\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5;7} \right)$

Đường thẳng CH đi qua $H\left( { - 1; - 1} \right)$ và có vector pháp tuyến $\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AH}  = \dfrac{1}{2}\left( {6;8} \right) = \left( {3;4} \right)$ , do đó có phương trình $3\left( {x + 1} \right) + 4\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y + 7 = 0$

Đỉnh $C = CH \cap AC \Rightarrow$ Tọa độ của C là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y + 7 = 0\\3x - 4y + 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{{10}}{3}\\y = \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - \dfrac{{10}}{3};\dfrac{3}{4}} \right)$

Phương trình đường thẳng AB là: $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y - 12 = 0$

 Giả sử đường tròn (C) có tâm $I\left( {a,b} \right)$.

 Đường tròn (C) nội tiếp tam giác OAB, suy ra $\left( C \right)$có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc ${\rm{Ox}},Oy,AB$

$\Rightarrow R = d\left( {I,{\rm{Ox}}} \right) = d\left( {I,Oy} \right) = d(I,AB)$

$\Rightarrow R = \left| b \right| = \left| a \right| = \dfrac{{\left| {4a + 3b - 12} \right|}}{5}$

TH1: Nếu $a = b$, ta có  $\left| a \right| = \dfrac{{\left| {4a + 3a - 12} \right|}}{5} \Leftrightarrow 5\left| a \right| = \left| {7a - 12} \right|$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5a = 7a - 12\\5a = 12 - 7a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 6\\a = 1\end{array} \right.$

TH2: Nếu $- a = b$, ta có  $\left| a \right| = \dfrac{{\left| {4a - 3a - 12} \right|}}{5} \Leftrightarrow 5\left| a \right| = \left| {a - 12} \right|$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5a = a - 12\\5a = 12 - a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 3\\a = 2\end{array} \right.$

Vì $\left( C \right)$ có bán kính nhỏ nhất nên chọn $R = \left| a \right| = 1$.

Suy ra $\left( C \right)$ có tâm $I(1;1)$ và $R = 1$$\Rightarrow \left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1$$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0$

Ta có $M \in d:\,\,\,x - 2y + 2 = 0 \Rightarrow M\left( {a;\dfrac{{a + 2}}{2}} \right).$ 

Khi đó: $M{A^2} + M{B^2} = \left[ {{{\left( { - a} \right)}^2} + {{\left( {6 - \dfrac{{a + 2}}{2}} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {2 - a} \right)}^2} + {{\left( {5 - \dfrac{{a + 2}}{2}} \right)}^2}} \right]$

$\begin{array}{l} \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} = {a^2} + \dfrac{{{{\left( {10 - a} \right)}^2}}}{4} + {a^2} - 4a + 4 + \dfrac{{{{\left( {8 - a} \right)}^2}}}{4}\\ = 2{a^2} - 4a + 4 + \dfrac{{{a^2}}}{2} - 9a + 41\\ = \dfrac{5}{2}{a^2} - 13a + 45 = \dfrac{5}{2}\left( {{a^2} - \dfrac{{26}}{5}a} \right) + 45\\ = \dfrac{5}{2}{\left( {a - \dfrac{{13}}{5}} \right)^2} + \dfrac{{281}}{{10}} \ge \dfrac{{281}}{{10}}.\end{array}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a - \dfrac{{13}}{5} = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{{13}}{5}$ $\Rightarrow b = \dfrac{{\dfrac{{13}}{5} + 2}}{2} = \dfrac{{23}}{{10}}$

$\Rightarrow a + b = \dfrac{{13}}{5} + \dfrac{{23}}{{10}} = \dfrac{{49}}{{10}}.$