Cho hai điểm \(A(3;0),B(0;4)\). Phương trình đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất nội tiếp tam giác OAB là:

Phương trình đường thẳng AB là: \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y - 12 = 0\)

 Giả sử đường tròn (C) có tâm \(I\left( {a,b} \right)\).

 Đường tròn (C) nội tiếp tam giác OAB, suy ra \(\left( C \right)\)có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc \({\rm{Ox}},Oy,AB\)

\( \Rightarrow R = d\left( {I,{\rm{Ox}}} \right) = d\left( {I,Oy} \right) = d(I,AB)\)

\( \Rightarrow R = \left| b \right| = \left| a \right| = \dfrac{{\left| {4a + 3b - 12} \right|}}{5}\)

TH1: Nếu \(a = b\), ta có  $\left| a \right| = \dfrac{{\left| {4a + 3a - 12} \right|}}{5} \Leftrightarrow 5\left| a \right| = \left| {7a - 12} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5a = 7a - 12\\5a = 12 - 7a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 6\\a = 1\end{array} \right.$

TH2: Nếu \( - a = b\), ta có  $\left| a \right| = \dfrac{{\left| {4a - 3a - 12} \right|}}{5} \Leftrightarrow 5\left| a \right| = \left| {a - 12} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5a = a - 12\\5a = 12 - a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 3\\a = 2\end{array} \right.$

Vì $\left( C \right)$ có bán kính nhỏ nhất nên chọn \(R = \left| a \right| = 1\).

Suy ra $\left( C \right)$ có tâm \(I(1;1)\) và $R = 1$\( \Rightarrow \left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0\)