Giá trị của biểu thức \(A = \dfrac{{\cos {{750}^0} + \sin {{420}^0}}}{{\sin ( - {{330}^0}) - \cos ( - {{390}^0})}}\). Ta được
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{\cos {{750}^0} + \sin {{420}^0}}}{{\sin ( - {{330}^0}) - \cos ( - {{390}^0})}}\\{\rm{ }} = \dfrac{{{\rm{cos(3}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}} + {{2.360}^0}) + \sin ({{60}^0} + {{360}^0})}}{{ - \sin ( - {{30}^0} + {{360}^0}) - \cos ({{30}^0} + {{360}^0})}}\\{\rm{ }} = \dfrac{{\cos {{30}^0} + \sin {{60}^0}}}{{\sin {{30}^0} - \cos {{30}^0}}}\\{\rm{ }} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 }} = - 3 - \sqrt 3 \end{array}\)
Cho góc \(x\) thoả ${0^0} < x < {90^0}$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
Vì ${0^0} < x < {90^0}$ nên $\sin x > 0,\cos x > 0,\tan {\rm{ }}x > 0,\cot x > 0$
Suy ra $\cos x < 0$ sai.
Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
Đáp án B: $1 + {\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }},{\rm{ }}\alpha \ne k\pi ,{\rm{ }}k \in Z$ sai vì $\cos x \ne 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,{\rm{ }}k \in Z$
Đáp án C: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta = 1$ sai vì \(\alpha \ne \beta \).
Đáp án D: $1 + {\cot ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }},{\rm{ }}\alpha \ne \dfrac{\pi }{2}{\rm{ + k}}\pi {\rm{, k}} \in Z$ sai vì $\sin x \ne 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}x \ne k\pi ,{\rm{ }}k \in Z$
Biết $\cos \alpha = - \dfrac{{12}}{{13}}$ và $\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi $ . Giá trị của ${\rm{sin}}\alpha $ và ${\rm{tan}}\alpha $ là
Ta có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\dfrac{{ - 12}}{{13}}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{169}} \Rightarrow {\rm{ }}\sin \alpha = \pm \dfrac{5}{{13}}$
Vì $\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi $ nên $\sin \alpha > 0 \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha = \dfrac{5}{{13}} \Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} = \dfrac{{ - 5}}{{12}}$.
Giá trị của biểu thức $P = m\sin {0^0} + {\rm{ ncos}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ + p}}\sin {90^0}$ bằng:
$P = m\sin {0^0} + {\rm{ }}n\cos {0^0}{\rm{ }} + {\rm{ }}p\sin {90^0} = {\rm{ }}m.0{\rm{ }} + {\rm{ }}n.1{\rm{ }} + {\rm{ }}p.1{\rm{ }} = n{\rm{ }} + {\rm{ }}p$.
Giá trị của biểu thức $S = 3 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{9}}{0^0} + {\rm{ 2co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{6}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ - 3ta}}{{\rm{n}}^2}{45^0}$ bằng:
$S = 3 - {\sin ^2}{90^0} + 2{\cos ^2}{60^0} - 3{\tan ^2}{45^0} = 3 - {1^2} + 2.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} - {3.1^2} = \dfrac{{ - 1}}{2}$.
Để tính $cos{120^0}$ , một học sinh làm như sau:
$(I)\sin {120^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow (II){\cos ^2}{120^0} = 1 - {\sin ^2}{120^0} \Rightarrow (III){\cos ^2}{120^0} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow (IV)\cos {120^0} = \dfrac{1}{2}$
Lập luận trên sai từ bước nào?
$\sin {120^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {\cos ^2}{120^0} = 1 - {\sin ^2}{120^0} \Rightarrow {\cos ^2}{120^0} = \dfrac{1}{4}$
Vì ${90^0} < {120^0} < {180^0} \Rightarrow \cos {120^0} < 0 \Rightarrow \cos {120^0} = \dfrac{{ - 1}}{2}$.
Sai ở bước (IV).
Cho biểu thức $P = 3{\sin ^2}x + 4{\cos ^2}x$, biết $\cos x = \dfrac{1}{2}$. Giá trị của \(P\) bằng:
$P = 3{\sin ^2}x + 4{\cos ^2}x = 3({\sin ^2}x + {\cos ^2}x) + {\cos ^2}x = 3 + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{13}}{4}$.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
${\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {({\sin ^2}x + {\cos ^2}x)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x({\sin ^2}x + {\cos ^2}x) = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x$
Nếu $\tan \alpha + \cot \alpha = 2$ thì ${\tan ^2}\alpha + {\rm{ }}{\cot ^2}\alpha $ bằng:
$\tan \alpha + \cot \alpha = 2 \Rightarrow {(\tan \alpha + \cot \alpha )^2} = 4 \Rightarrow {\tan ^2}\alpha + 2\tan \alpha \cot \alpha + {\cot ^2}\alpha = 4 \Rightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = 2$
Cho $\pi < \alpha < \dfrac{{3\pi }}{2}$. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
Vì $\pi < \alpha < \dfrac{{3\pi }}{2}{\rm{ }} \Rightarrow \dfrac{\pi }{2}{\rm{ + }}\pi {\rm{ < }}\dfrac{\pi }{2} + \alpha < \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \dfrac{{3\pi }}{2} < \dfrac{\pi }{2} + \alpha < 2\pi \Rightarrow {\rm{sin}}\left( {\dfrac{\pi }{2} + \alpha } \right) < 0$
Cho $\sin \alpha = \dfrac{1}{3}{\rm{ (}}\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi )$. Giá trị $\tan \alpha $ là?
Ta có ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \dfrac{8}{9} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}$
Vì $\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{ - 2\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{4}$.
Cho $\cos \alpha = \dfrac{{ - 2}}{3}{\rm{ (18}}{{\rm{0}}^0} < \alpha < {270^0})$. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
Ta có ${\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \dfrac{5}{9} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}$
Vì ${180^0} < \alpha < {270^0} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{ - \sqrt 5 }}{3} \Rightarrow \cot \alpha = \dfrac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}$.
Kết quả đơn giản của biểu thức \({\left( {\dfrac{{\sin \alpha + \tan \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + 1}}}}} \right)^2} + 1\) bằng:
${\left( {\dfrac{{\sin \alpha + \tan \alpha }}{{\cos \alpha + 1}}} \right)^2} + 1 $$= {\left( {\dfrac{{\sin \alpha + \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\cos \alpha + 1}}} \right)^2} + 1$
$= {\left[ {\left( {\sin \alpha + \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right):\left( {\cos \alpha + 1} \right)} \right]^2} + 1$
$= {\left[ {\sin \alpha \left( {1 + \dfrac{1}{{\cos \alpha }}} \right).\dfrac{1}{{\cos \alpha + 1}}} \right]^2} $$+ 1$
$= {\left[ {\sin \alpha .\dfrac{{\cos \alpha + 1}}{{\cos \alpha }}.\dfrac{1}{{\cos \alpha + 1}}} \right]^2} $$+ 1$
$= {\left( {\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right)^2} + 1 = \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} $$+ 1$
$= \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\
= \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$
Cho $A = \cos {235^0}.\sin {60^0}.\tan {125^0}.\cos {90^0}{\rm{ }}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì $\cos {90^0} = 0$ nên $A = \cos {235^0}.\sin {60^0}.\tan {125^0}.\cos {90^0} = 0$.
Biểu thức $P = {\cos ^2}x.{\cot ^2}x{\rm{ }} + 3{\cos ^2}x - {\cot ^2}x + 2{\sin ^2}x$ có giá trị là
$\begin{array}{l}P = {\cos ^2}x.{\cot ^2}x{\rm{ }} + 3{\cos ^2}x - {\cot ^2}x + 2{\sin ^2}x\\{\rm{ }} = {\cot ^2}x\left( {{{\cos }^2}x - 1} \right) + {\cos ^2}x + 2\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)\\{\rm{ }} = \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}.( - {\sin ^2}x) + {\cos ^2}x + 2\\{\rm{ }} = - {\cos ^2}x + {\cos ^2}x + 2 = 2\end{array}$
Giá trị lớn nhất của $6{\cos ^2}x + 6\sin x-2$ là:
Ta có:
$6{\cos ^2}x + 6{\sin }x - 2$ $= 6(1 - {\sin ^2}x) + 6\sin x - 2$ $= - 6{\sin ^2}x + 6\sin x + 4$ $= - 6({\sin ^2}x - \sin x) + 4$ $= - 6{\left( {\sin x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{2} \le \dfrac{{11}}{2}$
Dấu $“=”$ xảy ra khi \(\sin x = \dfrac{1}{2}\).
