Giá trị của biểu thức ${\rm{S}} = {\cos ^2}{12^0} + {\cos ^2}{78^0} + {\cos ^2}{1^0} + {\cos ^2}{89^0}$ bằng:
${\rm{S}} = {\cos ^2}{12^0} + {\cos ^2}{78^0} + {\cos ^2}{1^0} + {\cos ^2}{89^0}$
${\rm{ = (si}}{{\rm{n}}^2}{78^0} + {\cos ^2}{78^0}) + ({\sin ^2}{89^0} + {\cos ^2}{89^0})$
${\rm{ = 1 + 1 = 2}}$
Rút gọn biểu thức ${\rm{S}} = \cos {\rm{(9}}{{\rm{0}}^0} - x)\sin \left( {{{180}^0} - x} \right) $ $- {\rm{\sin (9}}{{\rm{0}}^0} - x)\cos \left( {{{180}^0} - x} \right)$ ta được kết quả:
${\rm{S}} = \cos {\rm{(9}}{{\rm{0}}^0} - x)\sin \left( {{{180}^0} - x} \right)$ $ - {\rm{\sin(9}}{{\rm{0}}^0} - x)\cos \left( {{{180}^0} - x} \right)$
$\begin{array}{l}{\rm{ = sinx}}.\sin {\rm{x}} - \cos {\rm{x}}{\rm{.}}\left( { - \cos x} \right)\\{\rm{ = si}}{{\rm{n}}^2}x + {\cos ^2}x\\{\rm{ }} = 1\end{array}$
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
$\sin {225^0} = \sin ({180^0} + {45^0}) $ $= - \sin {45^0} = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{2}$
A đúng
${\rm{\cos 22}}{{\rm{5}}^0} = \cos {\rm{(18}}{{\rm{0}}^0} + {45^0}) $ $= - \cos {\rm{4}}{{\rm{5}}^0} = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$
B đúng
$\tan {225^0} = \tan ({180^0} + {45^0}) = \tan {45^0} = 1$
C sai
$\cot {225^0} = \cot ({180^0} + {45^0}) = \cot {45^0} = 1$
D đúng
Rút gọn biểu thức $A = \dfrac{{\sin ( - {{234}^0}) - \cos {\rm{21}}{{\rm{6}}^0}}}{{\sin {{144}^0} - \cos {{126}^0}}}.\tan {36^0}$, ta được kết quả
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{\sin ( - {{234}^0}) - \cos {{216}^0}}}{{\sin {{144}^0} - \cos {{126}^0}}}.\tan {36^0}\\{\rm{ }} = \dfrac{{ - \sin {\rm{(18}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}} + {{54}^0}) - \cos ({{180}^0} + {{36}^0})}}{{\sin ({{180}^0} - {{36}^0}) - \cos ({{180}^0} - {{54}^0})}}.\tan {36^0}\\{\rm{ }} = \dfrac{{{\rm{sin5}}{{\rm{4}}^{\rm{0}}} + \cos {{36}^0}}}{{\sin {{36}^0} + \cos {{54}^0}}}.\tan {36^0}\\{\rm{ }} = \dfrac{{\cos {{36}^0} + \cos {{36}^0}}}{{\sin {{36}^0} + \sin {{36}^0}}}.\tan {36^0}\\{\rm{ }} = \cot {\rm{3}}{{\rm{6}}^{\rm{0}}}.\tan {36^0} = 1\end{array}\)
Đơn giản biểu thức \(A = \cos \left( {\alpha - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \sin (\alpha - \pi )\) ta được:
\(A = \cos \left( {\alpha - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \sin (\alpha - \pi )\) \(=\cos \left( { \dfrac{\pi }{2}}-\alpha \right) - \sin (\pi - \alpha ) \) \(= \sin \alpha - \sin \alpha = 0\).
Biểu thức \(A = \dfrac{{\sin \left( { - {{328}^0}} \right).\sin {{958}^0}}}{{\cot {{572}^0}}} - \dfrac{{\cos \left( { - {{508}^0}} \right).\cos \left( { - {{1022}^0}} \right)}}{{\tan \left( { - {{212}^0}} \right)}}\) rút gọn bằng:
\(A = \dfrac{{\sin \left( { - {{328}^0}} \right).\sin {{958}^0}}}{{\cot {{572}^0}}} - \dfrac{{\cos \left( { - {{508}^0}} \right).\cos \left( { - {{1022}^0}} \right)}}{{\tan \left( { - {{212}^0}} \right)}}\) \( A = - \dfrac{{\sin {{32}^0}.\sin {{58}^0}}}{{\cot {{32}^0}}} - \dfrac{{\cos {{32}^0}.\cos {{58}^0}}}{{\tan {{32}^0}}}\)\(A = - \dfrac{{\sin {{32}^0}.\cos {{32}^0}}}{{\cot {{32}^0}}} - \dfrac{{\cos {{32}^0}.\sin{{32}^0}}}{{\tan {{32}^0}}} = - {\sin ^2}{32^0} - {\cos ^2}{32^0} = - 1.\)
\(A = \cos \left( {\alpha + 26\pi } \right) - \cos (\alpha - 7\pi ) \) \(- \cos (\alpha - 1,5\pi ) - \cos \left( {\alpha + 2003\dfrac{\pi }{2}} \right) \) \(+ \cos \left( {\alpha - 1,5\pi } \right).\cot (\alpha - 8\pi )\)
có kết quả thu gọn là
$A = \cos \left( {\alpha + 26\pi } \right) - \cos (\alpha - 7\pi )$ $- \cos (\alpha - 1,5\pi ) - \cos \left( {\alpha + 2003\dfrac{\pi }{2}} \right) $ $+ \cos \left( {\alpha - 1,5\pi } \right).\cot (\alpha - 8\pi )$
$= \cos (\alpha + 13.2\pi ) - \cos (\alpha - \pi - 2.3\pi )$ $- \cos (\alpha - \dfrac{\pi }{2} - \pi ) - \cos \left( {\alpha - \dfrac{\pi }{2} + 1002\pi } \right) $ $+ \cos \left( {\alpha - \dfrac{\pi }{2} - \pi } \right).\cot (\alpha - 4.2\pi )$
$= \cos \alpha - \cos \left( {\alpha - \pi } \right) + \sin \alpha $ $- \cos \left( {\alpha - \dfrac{\pi }{2}} \right) - \cos \left( {\alpha - \dfrac{\pi }{2}} \right).\cot \alpha $
$= \cos \alpha + \cos \alpha + \sin \alpha $ $- \sin \alpha - \sin \alpha .\cot \alpha $ $= \cos \alpha $
Cho tam giác $ABC$. Hãy chỉ ra hệ thức sai
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \cos \dfrac{{B + C}}{2} = \cos \left( {{{90}^0} - \dfrac{A}{2}} \right) = \sin \dfrac{A}{2}\)
A đúng
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \sin \left( {A + C} \right) = \sin \left( {{{180}^0} - B} \right) = \sin B\)
B sai
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \cos \left( {A + B + 2C} \right) = \cos \left( {{{180}^0} + C} \right) = - \cos C\)
C đúng
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \cos \left( {A + B} \right) = \cos \left( {{{180}^0} - C} \right) = - \cos C\)
D đúng
Cho tam giác $ABC$ và các mệnh đề
\((I){\rm{ }}\cos \dfrac{{B + C}}{2} = \sin \dfrac{A}{2}\)
\((II){\rm{ }}\tan \dfrac{{A + B}}{2}.\tan \dfrac{C}{2} = 1\)
\((III){\rm{ }}\cos (A + B - C) = \cos 2C\)
Mệnh đề nào đúng?
\(\hat A + \hat B + \hat C \) \(= {180^0} \Rightarrow \cos \dfrac{{B + C}}{2} \) \(= \cos \left( {{{90}^0} - \dfrac{A}{2}} \right)\) \( = \sin \dfrac{A}{2}\)
(I) đúng
\((II){\rm{ }}\tan \dfrac{{A + B}}{2}.\tan \dfrac{C}{2}\) \( = \tan ({90^0} - \dfrac{C}{2}).\tan \dfrac{C}{2}\) \( = \cot \dfrac{C}{2}.\tan \dfrac{C}{2} = 1\)
(II) đúng
\((III){\rm{ }}\cos (A + B - C) = \cos \left( {{{180}^0} - 2C} \right) = - \cos 2C\)
(III) sai
Kết quả thu gọn của biểu thức
\(A = \sin \left( {\pi + x} \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) \)\(+ \cot \left( {2\pi - x} \right) + \tan \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} + x} \right)\) là
\(\begin{array}{l}A = \sin \left( {\pi + x} \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) + \cot \left( {2\pi - x} \right) + \tan \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} + x} \right)\\A = - \sin x + \sin x - \cot x + \tan \left( { - \dfrac{\pi }{2} + x} \right)\\A = - \cot x - \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\\A = - \cot x - \cot x\\A = - 2\cot x.\end{array}\)
Ta có: \(\cos \left( {3\pi + \alpha } \right) = \cos \left( {\pi + \alpha } \right) = - \cos \alpha = - \dfrac{1}{3}\)
Ta có \(\Delta ABC \Rightarrow A + B + C = {180^o}\) (định lý tổng 3 góc trong tam giác)
\( \Rightarrow \sin \left( {A + B} \right) = \sin \left( {{{180}^0} - A - B} \right) = \sin C\)
Vậy C đúng.
